Номер 12, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 12, страница 94.

Условие.

12. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функ-ции:

1) $y = \sqrt{x + 4} + 3;$

2) $y = \sqrt{x - 1} - 6.$

Решение.

Для построения графиков заданных функций используется метод преобразования (сдвига) графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через ключевые точки, такие как $(1, 1)$, $(4, 2)$ и $(9, 3)$.

Общий вид преобразованной функции $y = \sqrt{x - h} + k$ получается из $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса. Сдвиг на $h$ единиц по горизонтали (вправо при $h > 0$ и влево при $h < 0$) и на $k$ единиц по вертикали (вверх при $k > 0$ и вниз при $k < 0$). Начальная точка графика при этом смещается из $(0, 0)$ в точку $(h, k)$.

1) $y = \sqrt{x + 4} + 3;$

Данную функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x - (-4)} + 3$. В этом случае параметр горизонтального сдвига $h = -4$, а параметр вертикального сдвига $k = 3$.

Это означает, что для построения искомого графика необходимо график базовой функции $y = \sqrt{x}$ сдвинуть на 4 единицы влево (так как $h = -4 < 0$) и на 3 единицы вверх (так как $k = 3 > 0$).

Начальная точка графика $(0, 0)$ смещается в точку $(0 - 4, 0 + 3)$, то есть в точку $(-4, 3)$. Аналогично смещаются и другие точки графика: точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1 - 4, 1 + 3) = (-3, 4)$, а точка $(4, 2)$ — в точку $(4 - 4, 2 + 3) = (0, 5)$.

Для построения графика на координатной плоскости сначала отмечаем новую начальную точку $(-4, 3)$, а затем от неё строим ветвь параболы, проходящую через вычисленные точки $(-3, 4)$ и $(0, 5)$, соединяя их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 4} + 3$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Начало графика находится в точке $(-4, 3)$.

2) $y = \sqrt{x - 1} - 6.$

Для этой функции параметр горизонтального сдвига $h = 1$, а параметр вертикального сдвига $k = -6$.

Следовательно, для построения графика необходимо график функции $y = \sqrt{x}$ сдвинуть на 1 единицу вправо (так как $h = 1 > 0$) и на 6 единиц вниз (так как $k = -6 < 0$).

Начальная точка графика $(0, 0)$ смещается в точку $(0 + 1, 0 - 6)$, то есть в точку $(1, -6)$. Другие точки также смещаются: точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1 + 1, 1 - 6) = (2, -5)$, а точка $(4, 2)$ — в точку $(4 + 1, 2 - 6) = (5, -4)$.

Для построения графика на координатной плоскости отмечаем новую начальную точку $(1, -6)$ и от неё строим ветвь параболы, проходящую через вычисленные точки $(2, -5)$ и $(5, -4)$, соединяя их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 1} - 6$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 6 единиц вниз вдоль оси ординат. Начало графика находится в точке $(1, -6)$.