Номер 18, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 18, страница 97.

Условие.

18. При каких значениях $c$ областью значений функции $y = 0,4(x + 5)^2 + c^2 - 6c + 3$ является промежуток $[-2; +\infty)$?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Данная функция $y = 0,4(x + 5)^2 + c^2 - 6c + 3$ является квадратичной функцией относительно переменной $x$. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене (при $(x+5)^2$) равен $0,4$. Так как $0,4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, функция имеет наименьшее значение, и её область значений представляет собой промежуток вида $[y_{min}; +\infty)$, где $y_{min}$ — ордината вершины параболы.

Выражение $(x + 5)^2$ принимает своё наименьшее значение, равное 0, при $x = -5$.
Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно:
$y_{min} = 0,4(-5 + 5)^2 + c^2 - 6c + 3 = 0,4 \cdot 0 + c^2 - 6c + 3 = c^2 - 6c + 3$.

Значит, область значений функции — это промежуток $[c^2 - 6c + 3; +\infty)$.

По условию задачи, область значений функции должна быть $[-2; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы наименьшее значение функции было равно -2.
Составим и решим уравнение:
$c^2 - 6c + 3 = -2$
$c^2 - 6c + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $c$. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$
$c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, условие задачи выполняется при $c=1$ и $c=5$.

Ответ: 1; 5.