Номер 23, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 23, страница 101.

Условие.

23. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, ис-пользуя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{4x - 18}{x - 3}$;

Решение.

Имеем: $y = \frac{4x - 18}{x - 3}$

$= \frac{4x - 12 - 6}{x - 3}$

$= \frac{4x - 12}{x - 3} - \frac{6}{x - 3}$

2) $y = \frac{2x + 10}{x + 4}$.

Решение.

Решение.

1) $y = \frac{4x - 18}{x - 3}$

Чтобы представить данную функцию в виде $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть из дроби. Для этого преобразуем числитель так, чтобы в нем можно было выделить выражение, кратное знаменателю $(x-3)$.
$y = \frac{4x - 18}{x - 3} = \frac{4x - 12 - 6}{x - 3} = \frac{4(x - 3) - 6}{x - 3}$
Теперь разделим дробь на две части:
$y = \frac{4(x - 3)}{x - 3} - \frac{6}{x - 3} = 4 - \frac{6}{x - 3} = \frac{-6}{x - 3} + 4$
Итак, мы получили функцию вида $y = \frac{k}{x+a} + b$, где $k = -6$, $a = -3$, $b = 4$.

График этой функции — гипербола, которую можно получить из графика функции $y = \frac{-6}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• Горизонтальная асимптота: $y = 4$

Составим таблицу значений для построения графика.

x	-3	0	1	2	4	5	6	9
y	5	6	7	10	-2	1	2	3

Ответ: $y = \frac{-6}{x - 3} + 4$; график — гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=4$, ветви которой расположены во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот.

---

2) $y = \frac{2x + 10}{x + 4}$

Аналогично первому пункту, выделим целую часть из дроби. Преобразуем числитель $2x + 10$, чтобы выделить множитель, пропорциональный знаменателю $(x+4)$.
$y = \frac{2x + 8 + 2}{x + 4} = \frac{2(x + 4) + 2}{x + 4}$
Разделим дробь на две части:
$y = \frac{2(x + 4)}{x + 4} + \frac{2}{x + 4} = 2 + \frac{2}{x + 4} = \frac{2}{x + 4} + 2$
Мы получили функцию вида $y = \frac{k}{x+a} + b$, где $k = 2$, $a = 4$, $b = 2$.

График этой функции — гипербола, которую можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем сдвига на 4 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$

Составим таблицу значений для построения графика.

x	-6	-5	-3	-2	0
y	1	0	4	3	2.5

Ответ: $y = \frac{2}{x + 4} + 2$; график — гипербола с асимптотами $x=-4$ и $y=2$, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях относительно этих асимптот.