Номер 20, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 20, страница 99.

Условие.

20. Найдите значение $p$ и постройте график функции $y = x^2 + p$, если известно, что прямая $y = -3x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Ответ:

Решение.

Для того чтобы графики функций $y = x^2 + p$ и $y = -3x$ имели ровно одну общую точку, система уравнений, составленная из этих функций, должна иметь ровно одно решение.

$\begin{cases} y = x^2 + p \\ y = -3x \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$x^2 + p = -3x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x + p = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 3$, $c = p$.

Найдем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 9 - 4p$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $p$:

$9 - 4p = 0$

$4p = 9$

$p = \frac{9}{4} = 2.25$

Таким образом, мы нашли искомое значение $p$. Теперь необходимо построить график функции $y = x^2 + 2.25$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Этот график получается из графика базовой параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на $2.25$ единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 2.25)$.

Для построения графика найдем координаты нескольких дополнительных точек, принадлежащих параболе:

• Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 2.25 = 3.25$. Точка $(1; 3.25)$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 2.25 = 3.25$. Точка $(-1; 3.25)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 2.25 = 6.25$. Точка $(2; 6.25)$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 2.25 = 6.25$. Точка $(-2; 6.25)$.

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, получая параболу.

Ответ: $p = 2.25$. График функции $y = x^2 + 2.25$ — это парабола с вершиной в точке $(0; 2.25)$, ветви которой направлены вверх.