Номер 27, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 27, страница 103.

Условие.

27. Постройте график функции $y = 3 - \frac{4x+8}{x^2+2x}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

Построение графика функции $y = 3 - \frac{4x+8}{x^2+2x}$

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 + 2x \neq 0$
$x(x + 2) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Далее, упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
$y = 3 - \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)}$

При $x \neq -2$ и $x \neq 0$ можно сократить дробь на $(x+2)$:
$y = 3 - \frac{4}{x}$

Таким образом, график исходной функции является графиком гиперболы $y = 3 - \frac{4}{x}$ с одной выколотой точкой, абсцисса которой равна $-2$. Найдём ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощённое уравнение:
$y = 3 - \frac{4}{-2} = 3 - (-2) = 5$.
Координаты выколотой точки: $(-2; 5)$.

График функции $y = 3 - \frac{4}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{4}{x}$ на 3 единицы вверх. Асимптотами графика являются прямые:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-4	-1	1	2	4
$y$	4	7	-1	1	2

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=0$ и $y=3$ и выколотой точкой $(-2; 5)$.

Определение значений m, при которых прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки

Прямая $y = m$ представляет собой горизонтальную линию. Проанализировав построенный график, можно определить, при каких значениях $m$ эта прямая не будет иметь с ним общих точек.

1. Прямая не пересечёт график, если она совпадёт с его горизонтальной асимптотой. Уравнение горизонтальной асимптоты $y = 3$. Следовательно, при $m = 3$ общих точек нет.
2. Прямая не пересечёт график, если она пройдёт через выколотую точку. Ордината выколотой точки равна 5. Следовательно, при $m = 5$ прямая $y=5$ пройдёт через "пробел" в графике и не будет иметь с ним общих точек.

Таким образом, прямая $y=m$ не имеет с графиком функции ни одной общей точки при $m=3$ и $m=5$.

Ответ: $3; 5$.