Номер 26, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 26, страница 103.

Условие.

26. Постройте график функции $y = 2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Область определения данной функции —

множество решений неравенства $x^2 - x \neq 0$.

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Имеем: $y = 2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x} = 2 - \frac{x^2(x^2 - x)}{x^2 - x} = 2 - x^2$.

Ответ:

Решение.

Постройте график функции $y = 2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - x \neq 0$

$x(x - 1) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

2. Упростим выражение для функции в ее области определения:

$y = 2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x} = 2 - \frac{x^3(x - 1)}{x(x - 1)}$

При $x \neq 0$ и $x \neq 1$ можно сократить дробь:

$y = 2 - x^2$

3. Таким образом, график исходной функции — это парабола $y = 2 - x^2$, но с "выколотыми" точками, абсциссы которых $x=0$ и $x=1$.

График функции $y = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$, $y_v = 2 - 0^2 = 2$, то есть в точке $(0, 2)$.

4. Найдем координаты выколотых точек:

Если $x = 0$, то $y = 2 - 0^2 = 2$. Координаты первой выколотой точки: $(0, 2)$.

Если $x = 1$, то $y = 2 - 1^2 = 1$. Координаты второй выколотой точки: $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = 2 - x^2$ с выколотыми точками $(0, 2)$ (вершина) и $(1, 1)$.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество ее общих точек с построенным графиком зависит от значения параметра $m$. Проанализируем различные случаи, исследуя график (параболу $y = 2 - x^2$ с выколотыми точками $(0, 2)$ и $(1, 1)$).

1. Если $m > 2$, прямая проходит выше вершины параболы, и у нее нет общих точек с графиком.

2. Если $m = 2$, прямая $y=2$ проходит через вершину параболы $(0, 2)$. Но эта точка выколота, поэтому общих точек нет.

3. Если $1 < m < 2$, прямая пересекает обе ветви параболы в двух точках, которые не являются выколотыми. В этом случае ровно две общие точки.

4. Если $m = 1$, прямая $y=1$ пересекает параболу в точках, где $1 = 2 - x^2$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x=1$ и $x=-1$. Точка $(1, 1)$ выколота, а точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Следовательно, в этом случае только одна общая точка.

5. Если $m < 1$, прямая пересекает обе ветви параболы в двух точках, которые не являются выколотыми. В этом случае ровно две общие точки.

Таким образом, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда $m < 1$ или $1 < m < 2$.

Ответ: $m \in (-\infty, 1) \cup (1, 2)$.