Номер 6, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 6, страница 105.

Условие.

6. Постройте график данной функции. Используя график, заполните пропуски.

1) $f(x) = x^2 - 4x - 12$

Решение.

Данная функция является квадратичной, её график – парабола, ветви которой направлены ______

Абсцисса вершины параболы $x_0 = \frac{-(-4)}{2} = 2$,

ордината вершины $y_0 = f(2) = $ ______

Найдём точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Имеем: ______

Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках (______); (______).

Найдём точку пересечения параболы с осью ординат: $f(0) = $ ______ . Парабола пересекает ось ординат в точке (0; ______).

Найдём значения функции в точках ______

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

и убывает на промежутке ______

Функция принимает положительные значения ______

а отрицательные – ______

Наименьшее значение функции равно ______

наибольшее значение ______

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 3$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

убывает на промежутке ______

Функция принимает положительные значения ______

а отрицательные – ______

Наименьшее значение функции ______

наибольшее значение ______

3) $f(x) = x^2 - x - 2$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

и убывает на промежутке ______

$f(x) > 0$ при ______

$f(x) < 0$ при ______

4) $f(x) = 4x^2 - 8x + 4$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

и убывает на промежутке ______

$f(x) > 0$ при ______

5) $f(x) = 4 - x - 0,5x^2$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

убывает на промежутке ______

Функция принимает положительные значения ______

а отрицательные – ______

6) $f(x) = 2x^2 - 4x$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

и убывает на промежутке ______

$f(x) > 0$ при ______

$f(x) < 0$ при ______

7) $f(x) = -x^2 + 4x - 6$

Решение.

$E(f) = $ ______

Функция возрастает на промежутке ______

и убывает на промежутке ______

$f(x) < 0$ при ______

Решение.

1) $f(x) = x^2 - 4x - 12$

Решение.

Данная функция является квадратичной, её график – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины: $y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$.
Вершина находится в точке $(2, -16)$.

Найдём точки пересечения параболы с осями координат.
С осью абсцисс (Ox), решив уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
С осью ординат (Oy), найдя значение $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 12 = -12$. Точка пересечения: $(0, -12)$.

Ответ:

• Область значений $E(f) = [-16; +\infty)$.
• Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.
• Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (6; +\infty)$, а отрицательные – при $x \in (-2; 6)$.
• Наименьшее значение функции равно -16, наибольшего значения не существует.

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 3$

Решение.

График функции – парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.
$y_0 = f(-2) = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
Вершина: $(-2, 1)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $-x^2 - 4x - 3 = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = -3, x_2 = -1$. Точки: $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.
С осью Oy: $f(0) = -3$. Точка: $(0, -3)$.

Ответ:

• $E(f) = (-\infty; 1]$.
• Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.
• Функция принимает положительные значения при $x \in (-3; -1)$, а отрицательные – при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.
• Наименьшего значения функции не существует, наибольшее значение равно 1.

3) $f(x) = x^2 - x - 2$

Решение.

График функции – парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$.
$y_0 = f(0,5) = (0,5)^2 - 0,5 - 2 = 0,25 - 0,5 - 2 = -2,25$.
Вершина: $(0,5; -2,25)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 2$. Точки: $(-1, 0)$ и $(2, 0)$.
С осью Oy: $f(0) = -2$. Точка: $(0, -2)$.

Ответ:

• $E(f) = [-2,25; +\infty)$.
• Функция возрастает на промежутке $[0,5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0,5]$.
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 2)$.

4) $f(x) = 4x^2 - 8x + 4$

Решение.

Заметим, что $f(x) = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x-1)^2$. График – парабола, $a = 4 > 0$, ветви вверх.

Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $4(x-1)^2 = 0 \implies x = 1$. Точка касания: $(1, 0)$.
С осью Oy: $f(0) = 4(0-1)^2 = 4$. Точка: $(0, 4)$.

Ответ:

• $E(f) = [0; +\infty)$.
• Функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
• Нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

5) $f(x) = 4 - x - 0,5x^2$

Решение.

Перепишем функцию: $f(x) = -0,5x^2 - x + 4$. График – парабола, $a = -0,5 < 0$, ветви вниз.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-0,5)} = -1$.
$y_0 = f(-1) = -0,5(-1)^2 - (-1) + 4 = -0,5 + 1 + 4 = 4,5$.
Вершина: $(-1, 4,5)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $-0,5x^2 - x + 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 2$. Точки: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.
С осью Oy: $f(0) = 4$. Точка: $(0, 4)$.

Ответ:

• $E(f) = (-\infty; 4,5]$.
• Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.
• Функция принимает положительные значения при $x \in (-4; 2)$, а отрицательные – при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

6) $f(x) = 2x^2 - 4x$

Решение.

График – парабола, $a = 2 > 0$, ветви вверх.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.
$y_0 = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2$.
Вершина: $(1, -2)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $2x^2 - 4x = 0 \implies 2x(x-2) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 2$. Точки: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
С осью Oy: $f(0) = 0$. Точка: $(0, 0)$.

Ответ:

• $E(f) = [-2; +\infty)$.
• Функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (0; 2)$.

7) $f(x) = -x^2 + 4x - 6$

Решение.

График – парабола, $a = -1 < 0$, ветви вниз.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_0 = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 6 = -4 + 8 - 6 = -2$.
Вершина: $(2, -2)$.

Точки пересечения с осями координат.
С осью Ox: $-x^2 + 4x - 6 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(-1)(-6) = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.
С осью Oy: $f(0) = -6$. Точка: $(0, -6)$.

Ответ:

• $E(f) = (-\infty; -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$. Нет значений $x$, при которых $f(x) > 0$.