Номер 13, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 13, страница 114.

Условие.

13. При каком отрицательном значении $k$ прямая $y = kx - 4$ имеет с параболой $y = x^2 - 3x$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении $k$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

1. Нахождение отрицательного значения k

Чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку, система уравнений, составленная из их формул, должна иметь единственное решение. Приравняем правые части уравнений:

$kx - 4 = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 3x - kx + 4 = 0$

$x^2 - (3 + k)x + 4 = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю ($D=0$).

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-(3+k)$, $c=4$.

$D = (-(3+k))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (3+k)^2 - 16$

Приравняем дискриминант к нулю:

$(3+k)^2 - 16 = 0$

$(3+k)^2 = 16$

Отсюда следует, что $3+k = 4$ или $3+k = -4$.

Решая эти два уравнения, находим два возможных значения для $k$:

$k_1 = 4 - 3 = 1$

$k_2 = -4 - 3 = -7$

По условию задачи требуется найти отрицательное значение $k$, следовательно, нам подходит $k = -7$.

2. Нахождение координат общей точки

Подставим найденное значение $k=-7$ в квадратное уравнение для $x$:

$x^2 - (3 + (-7))x + 4 = 0$

$x^2 - (-4)x + 4 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Это полный квадрат: $(x+2)^2 = 0$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x = -2$.

Чтобы найти ординату $y$, подставим $x=-2$ в уравнение прямой $y = -7x - 4$ (так как $k=-7$):

$y = -7(-2) - 4 = 14 - 4 = 10$

Таким образом, координаты общей точки: $(-2, 10)$.

3. Построение графиков

Необходимо построить параболу $y = x^2 - 3x$ и прямую $y = -7x - 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x$:

- Ветви направлены вверх.

- Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$; $y_0 = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осью Ox: $x(x-3)=0$, то есть $(0,0)$ и $(3,0)$.

- Точка касания: $(-2, 10)$.

Прямая $y = -7x - 4$:

- Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем точку пересечения с осью Oy $(0, -4)$ и точку касания $(-2, 10)$.

Построив графики в одной системе координат по указанным точкам, мы увидим, что они касаются в точке $(-2, 10)$.

Ответ: при $k=-7$ прямая и парабола имеют одну общую точку с координатами $(-2, 10)$.