Номер 20, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 20, страница 119.

Условие.

20. Постройте график функции $y = \frac{(x-1)(x^2 + 7x + 10)}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Разложим квадратный трёхчлен

$x^2 + 7x + 10$ на множители.

Ответ:

Решение.

Постройте график функции $y = \frac{(x-1)(x^2 + 7x + 10)}{x+2}$

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$.

Далее упростим выражение для функции. Для этого разложим на множители квадратный трёхчлен $x^2 + 7x + 10$, находящийся в числителе. Найдём корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -7, а их произведение равно 10. Отсюда находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, $x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)$.

Подставим полученное разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x-1)(x+5)(x+2)}{x+2}$

Учитывая, что $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$y = (x-1)(x+5)$

Раскроем скобки, чтобы получить уравнение параболы:
$y = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$.

Итак, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 4x - 5$ с выколотой точкой, абсцисса которой $x=-2$.
Для построения графика найдем координаты вершины этой параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Ордината вершины: $y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$. Поскольку $x \neq -2$, эта точка выколота на графике.

Найдём точки пересечения параболы с осями координат:
- С осью OY ($x=0$): $y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
- С осью OX ($y=0$): $x^2 + 4x - 5 = 0$. Корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. Точки $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

График функции — парабола с ветвями вверх и выколотой вершиной в точке $(-2, -9)$.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество её общих точек с графиком функции равно количеству решений уравнения $f(x) = m$.
Проанализируем построенный график. Он представляет собой параболу $y = x^2 + 4x - 5$, у которой удалена точка минимума (вершина) в $(-2, -9)$.
Область значений данной функции — это интервал $(-9; +\infty)$.

Рассмотрим различные значения $m$:
- Если $m > -9$, прямая $y=m$ пересекает обе ветви параболы, то есть имеет две общие точки.
- Если $m = -9$, прямая $y=m$ проходит через выколотую вершину, но не пересекает сам график. Общих точек нет.
- Если $m < -9$, прямая $y=m$ расположена ниже всего графика, и общих точек также нет.

Таким образом, не существует значений $m$, при которых прямая $y=m$ имела бы с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: таких значений $m$ не существует.