Номер 24, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 24, страница 122.

Условие.

24. Постройте график функции $y = x^2 - 6|x| + 8$. Какое наибольшее количество общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение.

Ответ:

Решение.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 6|x| + 8$.

Заметим, что $x^2 = (|x|)^2$. Функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 - 6|x| + 8$. Поскольку в уравнение переменная $x$ входит только под знаком модуля, функция является четной, то есть $y(x) = y(-x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Таким образом, мы можем построить часть графика для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить ее относительно оси $Oy$, чтобы получить полный график.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 6x + 8$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины этой параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. $y_0 = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Координаты вершины: $(3; -1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью $Ox$ ($y=0$):
  $x^2 - 6x + 8 = 0$
  По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки: $(2; 0)$ и $(4; 0)$.
• С осью $Oy$ ($x=0$):
  $y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Точка: $(0; 8)$.

Составим таблицу значений для $x \ge 0$:

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$	8	3	0	-1	0	3

Построим график для $x \ge 0$ по этим точкам. Затем, используя свойство четности, симметрично отразим полученную кривую относительно оси $Oy$. Получим вторую часть графика для $x < 0$, которая будет являться частью параболы $y = x^2 + 6x + 8$ с вершиной в точке $(-3; -1)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.

2. Определение наибольшего количества общих точек графика с прямой, параллельной оси абсцисс.

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число. Количество общих точек — это количество решений уравнения $x^2 - 6|x| + 8 = c$.

Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $c$, глядя на построенный график:

• Если $c < -1$ (прямая ниже вершин парабол), общих точек нет.
• Если $c = -1$ (прямая касается вершин парабол), имеется 2 общие точки.
• Если $-1 < c < 8$ (прямая пересекает график между вершинами и локальным максимумом на оси $Oy$), имеется 4 общие точки.
• Если $c = 8$ (прямая проходит через точку $(0; 8)$), имеется 3 общие точки.
• Если $c > 8$ (прямая выше точки $(0; 8)$), имеется 2 общие точки.

Таким образом, наибольшее возможное количество общих точек графика данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

Ответ: 4.