Номер 21, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 21, страница 120.

Условие.

21. Постройте график функции $y = \begin{cases} \frac{5}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ -x^2 + 4x, & \text{если } x > -1. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

Построение графика функции

Функция $y$ задана кусочно. Построим каждую часть графика на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $x \le -1$ функция имеет вид $y = \frac{5}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой ($y \to 0$ при $x \to -\infty$). Вычислим значение на границе промежутка: при $x = -1$, $y = \frac{5}{-1} = -5$. Точка $(-1, -5)$ принадлежит графику. Для построения также можно взять точку $x=-5$, тогда $y=-1$.

2. На промежутке $x > -1$ функция имеет вид $y = -x^2 + 4x$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Ордината вершины: $y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Координаты вершины — $(2, 4)$. Поскольку $x_в = 2 > -1$, вершина параболы принадлежит нашему графику.

Найдем значение функции на границе промежутка $x = -1$. Эта точка не входит в область определения данной части функции, но позволяет понять, где начинается график: $y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$. Таким образом, график параболы начинается из точки $(-1, -5)$, которая совпадает с конечной точкой первой части графика. Следовательно, функция непрерывна.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс: $-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4) = 0$. Корни $x=0$ и $x=4$. Оба значения удовлетворяют условию $x > -1$.

График функции состоит из ветви гиперболы, идущей из $-\infty$ до точки $(-1, -5)$, и части параболы, идущей из точки $(-1, -5)$ через вершину $(2, 4)$ и далее вниз.

Определение значений m

Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия. Требуется найти такие значения $m$, при которых эта прямая имеет с построенным графиком ровно три общие точки.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от положения прямой $y=m$:

• При $m > 4$ (выше вершины параболы) — нет точек пересечения.
• При $m = 4$ (касается вершины параболы) — одна общая точка.
• При $0 \le m < 4$ — две общие точки (прямая пересекает параболу в двух местах).
• При $-5 < m < 0$ — три общие точки (прямая пересекает ветвь гиперболы в одной точке и параболу в двух точках).
• При $m = -5$ (проходит через точку "стыка" графиков) — две общие точки.
• При $m < -5$ — две общие точки (прямая пересекает параболу в двух местах).

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком, когда $m$ находится в интервале от $-5$ до $0$.

Ответ: $m \in (-5; 0)$.