Номер 18, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 18, страница 117.

Условие.

18. Мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Расстояние от мяча до земли изменяется по закону $h = 20t - 5t^2$, где $h$ — расстояние от мяча до земли (в метрах), $t$ — время полёта мяча (в секундах).

1) Какой наибольшей высоты достиг мяч?

2) Сколько секунд мяч летел вверх?

3) Через сколько секунд после броска мяч упал на землю?

Решение.

Зависимость $h(t) = 20t - 5t^2$ высоты полёта мяча от времени полёта является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -5, b = 20, c = 0$.

Ответ:

1)

2)

3)

Решение.

Задана функция, описывающая высоту мяча от времени: $h(t) = 20t - 5t^2$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = -5$, $b = 20$, $c = 0$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a$ отрицательный. Максимальная высота, которую достигнет мяч, соответствует ординате (значению функции) в вершине этой параболы.

1) Какой наибольшей высоты достиг мяч?
Чтобы найти наибольшую высоту, сначала нужно определить время, в которое мяч её достигнет. Это время соответствует абсциссе вершины параболы и вычисляется по формуле $t_0 = -b / (2a)$.
$t_0 = -20 / (2 \cdot (-5)) = -20 / (-10) = 2$ секунды.
Теперь подставим это значение времени ($t = 2$) в уравнение высоты, чтобы найти максимальную высоту $h_{max}$:
$h_{max} = h(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 40 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ метров.
Ответ: 20 метров.

2) Сколько секунд мяч летел вверх?
Время полета вверх — это время, за которое мяч достигает своей максимальной высоты. Как мы вычислили в предыдущем пункте, это время соответствует абсциссе вершины параболы.
$t_0 = 2$ секунды.
Ответ: 2 секунды.

3) Через сколько секунд после броска мяч упал на землю?
Мяч упадет на землю, когда его высота $h$ станет равной нулю. Для нахождения этого времени нужно решить уравнение $h(t) = 0$.
$20t - 5t^2 = 0$
Вынесем общий множитель $5t$ за скобки:
$5t(4 - t) = 0$
Это уравнение имеет два решения:
$5t = 0 \implies t_1 = 0$
$4 - t = 0 \implies t_2 = 4$
Корень $t_1 = 0$ с соответствует начальному моменту времени (моменту броска). Корень $t_2 = 4$ с соответствует моменту, когда мяч снова упал на землю. Следовательно, общее время полета составляет 4 секунды.
Также можно заметить, что из-за симметрии параболической траектории время подъема равно времени падения. Поскольку время подъема 2 секунды, общее время полета равно $2 \cdot 2 = 4$ секунды.
Ответ: 4 секунды.