Номер 15, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 15, страница 115.

Условие.

15. При каких значениях $a$ и $b$ вершина параболы $y = ax^2 + bx - 10$ находится в точке $B (-1; -13)$?

Решение.

Ответ: $a =$, $b =$.

Решение.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формуле для абсциссы вершины: $x_0 = -b / (2a)$. Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$.

По условию, уравнение параболы $y = ax^2 + bx - 10$, а ее вершина находится в точке $B(-1; -13)$.

Следовательно, абсцисса вершины $x_0 = -1$. Подставим это значение в формулу:
$-1 = -b / (2a)$
Умножив обе части на $-2a$ (при условии, что $a \neq 0$, что выполняется для параболы), получим первое уравнение:
$b = 2a$

Так как точка $B(-1; -13)$ является вершиной, она принадлежит параболе. Значит, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x = -1$ и $y = -13$ в исходное уравнение $y = ax^2 + bx - 10$:
$-13 = a(-1)^2 + b(-1) - 10$
$-13 = a \cdot 1 - b - 10$
$-13 = a - b - 10$
Перенесем $-10$ в левую часть:
$-13 + 10 = a - b$
$a - b = -3$
Это наше второе уравнение.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} b = 2a \\ a - b = -3 \end{cases}$
Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$a - (2a) = -3$
$-a = -3$
$a = 3$

Теперь найдем значение $b$, подставив найденное значение $a$ в первое уравнение:
$b = 2a = 2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, при $a = 3$ и $b = 6$ вершина параболы $y = 3x^2 + 6x - 10$ будет находиться в точке $B(-1; -13)$.
Ответ: $a = 3$, $b = 6$.