Номер 22, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 22, страница 121.

Условие.

22. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 5, \text{ если } x \ge 1 \\ x+1, \text{ если } x < 1 \end{cases}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим две части функции в соответствии с их областями определения.

1. При $x \ge 1$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x + 5$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 1)$. Поскольку абсцисса вершины $x_0 = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 1$, вершина является частью искомого графика.

Вычислим значения функции в нескольких ключевых точках для этого интервала:

При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$. Точка $(1; 2)$.

При $x=3$, $y = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Точка $(3; 2)$.

2. При $x < 1$ функция задана формулой $y = x + 1$.

Графиком этой функции является прямая. В указанном интервале это будет луч.

Найдём координаты двух точек для построения этого луча:

На границе интервала при $x=1$, получаем $y = 1 + 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ не принадлежит этому лучу (будет выколотой), так как неравенство строгое ($x < 1$).

При $x=0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.

Таким образом, график функции состоит из луча, который заканчивается в точке $(1; 2)$, и части параболы, которая начинается в этой же точке $(1; 2)$. Так как точка $(1; 2)$ включена в первую часть функции, график является непрерывным.

Далее определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с построенным графиком ровно две общие точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия, положение которой зависит от параметра $m$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $m$:

• При $m < 1$: прямая $y=m$ пересекает только луч $y=x+1$ в одной точке.
• При $m = 1$: прямая $y=m$ касается параболы в её вершине $(2; 1)$ и пересекает луч в точке $(0; 1)$. Таким образом, имеем ровно две точки пересечения. Следовательно, $m=1$ является решением.
• При $1 < m < 2$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Всего три точки пересечения.
• При $m = 2$: прямая $y=m$ проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; 2)$, которые принадлежат параболе. С лучом $y=x+1$ пересечения нет, так как точка с абсциссой $x=1$ ему не принадлежит. Таким образом, имеем ровно две точки пересечения. Следовательно, $m=2$ является решением.
• При $m > 2$: прямая $y=m$ пересекает луч $y=x+1$ один раз (при $x=m-1$, но это значение будет больше 1, если $m>2$, поэтому с лучом на его области определения $x<1$ пересечений нет). Прямая пересекает правую ветвь параболы ($x>2$) в одной точке. Левую ветвь параболы ($1 \le x < 2$) она не пересекает, так как для этого $m$ должно быть меньше 2. Таким образом, при $m > 2$ имеется только одна точка пересечения.

В результате анализа получаем, что прямая $y=m$ имеет с графиком функции ровно две общие точки при $m=1$ и $m=2$.

Ответ: 1; 2.