Номер 25, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 25, страница 123.

Условие.

25. Постройте график функции $y = |x|(x + 1) - 3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

Для построения графика функции $y = |x|(x + 1) - 3x$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Построение графика функции

а) При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x(x + 1) - 3x = x^2 + x - 3x = x^2 - 2x$.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты её вершины:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_в = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

б) При $x < 0$, модуль $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x(x + 1) - 3x = -x^2 - x - 3x = -x^2 - 4x$.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.

$y_в = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(-2; 4)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$.

Итак, график функции $y = |x|(x + 1) - 3x$ состоит из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 2x$ с вершиной (локальным минимумом) в точке $(1; -1)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 - 4x$ с вершиной (локальным максимумом) в точке $(-2; 4)$. Обе части графика соединяются в точке $(0; 0)$.

2. Определение значений m

Прямая $y = m$ представляет собой горизонтальную линию. Количество её общих точек с графиком функции зависит от значения $m$. Проанализируем это количество, мысленно перемещая прямую $y=m$ вдоль оси $y$ снизу вверх.

• При $m < -1$ (прямая находится ниже локального минимума), она пересекает только левую ветвь графика, идущую из бесконечности. Одна общая точка.
• При $m = -1$ (прямая проходит через точку локального минимума $(1; -1)$), она касается графика в этой точке и пересекает левую ветвь. Две общие точки.
• При $-1 < m < 4$ (прямая находится между локальным минимумом и максимумом), она пересекает график в трех точках (при $m=0$ в точках $x=-4, x=0, x=2$; при $m \neq 0$ также в трех точках).
• При $m = 4$ (прямая проходит через точку локального максимума $(-2; 4)$), она касается графика в этой точке и пересекает правую ветвь. Две общие точки.
• При $m > 4$ (прямая находится выше локального максимума), она пересекает только правую ветвь графика, идущую в бесконечность. Одна общая точка.

Таким образом, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-1$ и при $m=4$.

Ответ: -1; 4.