Номер 26, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 26, страница 124.

Условие.

26. Постройте график функции $y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

При $x \ge 2$ имеем:

$y = 5(x - 2) - x^2 + 5x - 6 =$

$=$

При $x < 2$ имеем:

$y = 5(-x + 2) - x^2 + 5x - 6 =$

$=$

Ответ:

Решение.

Решение.

Для построения графика функции $y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6$ раскроем модуль, рассмотрев два случая.

При $x \ge 2$ имеем:

В этом случае $|x - 2| = x - 2$, и функция принимает вид:

$y = 5(x - 2) - x^2 + 5x - 6 = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 10x - 16$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{10}{2(-1)} = 5$.

$y_в = -(5)^2 + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9$.

Вершина параболы находится в точке $(5; 9)$.

При $x < 2$ имеем:

В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$, и функция принимает вид:

$y = 5(-x + 2) - x^2 + 5x - 6 = -5x + 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 4$.

Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты ее вершины:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{0}{2(-1)} = 0$.

$y_в = -(0)^2 + 4 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

Итак, график исходной функции состоит из двух частей:
1. Часть параболы $y = -x^2 + 4$ при $x < 2$.
2. Часть параболы $y = -x^2 + 10x - 16$ при $x \ge 2$.

Обе части графика соединяются в точке с абсциссой $x=2$. Найдем ординату этой точки: $y(2) = -2^2 + 4 = 0$. Точка "излома" графика — $(2; 0)$.

Построим график, используя ключевые точки: вершину левой части $(0; 4)$, вершину правой части $(5; 9)$ и точку их соединения $(2; 0)$. Также найдем нули функции: для $y=-x^2+4$ нули при $x=\pm2$; для $y=-x^2+10x-16$ нули при $x=2$ и $x=8$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Определим по построенному графику, при каких значениях $m$ она будет иметь с ним ровно три общие точки.

Из графика видно, что это возможно в двух случаях:
1. Когда прямая проходит через вершину левой параболы. В этом случае $m = 4$. Прямая $y=4$ касается графика в точке $(0; 4)$ и пересекает правую параболу в двух других точках.
2. Когда прямая проходит через точку "излома" графика. В этом случае $m = 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в трех точках: $(-2; 0)$, $(2; 0)$ и $(8; 0)$.

Ответ: $0; 4$.