Номер 19, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 19, страница 118.

Условие.

19. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x};$

Решение.

$D(f) = $

Имеем.

$f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x} = \frac{x(x^2 - 4x + 3)}{x} = $

2) $f(x) = \frac{x^3 + 5x^3 - 6x}{x - 1}$

Решение.

Решение.

1) $f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x}$

Решение.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$f(x) = \frac{x(x^2 - 4x + 3)}{x}$

Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$f(x) = x^2 - 4x + 3$

3. График исходной функции представляет собой параболу $y = x^2 - 4x + 3$ с "выколотой" точкой при $x=0$.

4. Исследуем квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 3$ для построения ее графика.

- Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

- Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

- Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс (OX), для этого решим уравнение $y=0$:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

- Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x=0$ в упрощенное уравнение параболы:

$y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$

Таким образом, точка $(0, 3)$ не принадлежит графику функции (является выколотой).

5. Построим параболу по ключевым точкам: вершина $(2, -1)$, точки пересечения с осью OX $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Отметим на параболе выколотую точку $(0, 3)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 4x + 3$ с вершиной в точке $(2, -1)$ и с выколотой точкой $(0, 3)$.

2) $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 - 6x}{x - 1}$

Решение.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:

$x^3 + 5x^2 - 6x = x(x^2 + 5x - 6)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 5x - 6$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$. Тогда разложение имеет вид:

$x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x - (-6)) = (x - 1)(x + 6)$

Итак, числитель равен $x(x - 1)(x + 6)$. Подставим это в исходную функцию:

$f(x) = \frac{x(x - 1)(x + 6)}{x - 1}$

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$f(x) = x(x + 6) = x^2 + 6x$

3. График исходной функции представляет собой параболу $y = x^2 + 6x$ с "выколотой" точкой при $x=1$.

4. Исследуем квадратичную функцию $y = x^2 + 6x$ для построения ее графика.

- Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

- Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) = 9 - 18 = -9$

Вершина параболы находится в точке $(-3, -9)$.

- Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью OX ($y=0$):

$x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x+6) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=-6$.

Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(-6, 0)$.

Точка $(0, 0)$ также является точкой пересечения с осью OY.

- Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x=1$ в упрощенное уравнение параболы:

$y = 1^2 + 6(1) = 1 + 6 = 7$

Таким образом, точка $(1, 7)$ не принадлежит графику функции.

5. Построим параболу по ключевым точкам: вершина $(-3, -9)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-6, 0)$. Отметим на параболе выколотую точку $(1, 7)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 6x$ с вершиной в точке $(-3, -9)$ и с выколотой точкой $(1, 7)$.