Номер 12, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 12, страница 114.

Условие.

12. При каком значении p прямая $y = -2x + p$ имеет с параболой $y = x^2 + 2x$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Решение.

Найдём, при каком значении p имеет один корень уравнение $x^2 + 2x = -2x + p$.

Ответ:

Решение.

1. Нахождение значения p

Чтобы прямая $y = -2x + p$ и парабола $y = x^2 + 2x$ имели ровно одну общую точку, система уравнений, составленная из их формул, должна иметь единственное решение. Для нахождения общих точек приравняем выражения для $y$:

$x^2 + 2x = -2x + p$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x + 2x - p = 0$

$x^2 + 4x - p = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = -p$.

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p$

$16 + 4p = 0$

$4p = -16$

$p = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $p = -4$.

2. Нахождение координат общей точки

Подставим найденное значение $p = -4$ в квадратное уравнение, чтобы найти абсциссу ($x$) общей точки:

$x^2 + 4x - (-4) = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Данное уравнение является полным квадратом:

$(x + 2)^2 = 0$

Решая уравнение, получаем: $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$.

Теперь найдем соответствующую ординату ($y$), подставив значение $x = -2$ в уравнение прямой $y = -2x + p$ (с учетом $p=-4$):

$y = -2(-2) + (-4) = 4 - 4 = 0$

Таким образом, координаты единственной общей точки (точки касания) равны $(-2, 0)$.

Ответ: $(-2, 0)$.

3. Построение параболы и прямой

Построим в одной системе координат параболу $y = x^2 + 2x$ и прямую $y = -2x - 4$ (при найденном $p=-4$).

Для параболы $y = x^2 + 2x$:

• Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).
• Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Ордината вершины: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
• Найдем точки пересечения с осью Oх (нули функции), решив уравнение $x^2 + 2x = 0$. $x(x+2)=0$, откуда $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Для прямой $y = -2x - 4$:

• Для построения прямой достаточно двух точек.
• Точка пересечения с осью Oу: при $x=0$, $y = -2(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• Точка пересечения с осью Oх: при $y=0$, $0 = -2x - 4 \implies 2x = -4 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

На координатной плоскости строим параболу с вершиной в $(-1, -1)$, проходящую через точки $(-2, 0)$ и $(0, 0)$. Затем строим прямую, проходящую через точки $(0, -4)$ и $(-2, 0)$. Графики показывают, что прямая касается параболы в их общей точке $(-2, 0)$.

Ответ: Графики построены на основе найденных ключевых точек.