Номер 16, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 16, страница 115.

Условие.

16. На рисунке изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1) Решение.

Ветви параболы направлены вниз, следовательно, а _ 0.

Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Поскольку $x_0$ _ 0 и а _ 0, то b _ 0. Так как при $x = 0 y = c$, а парабола пересекает ось у в точке с _ ординатой, то с _ 0.

Ответ: а _ 0, b _ 0, c _ 0.

2) Решение.

Ответ: а _ 0, b _ 0, c _ 0.

3) Решение.

Ответ: а _ 0, b _ 0, c _ 0.

4) Решение.

Ответ: а _ 0, b _ 0, c _ 0.

Решение.

1)

Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, проанализируем его ключевые особенности.

1. Знак коэффициента $a$. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. На данном графике ветви направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$. Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0)=c$. Это ордината точки пересечения параболы с осью $y$. На графике видно, что парабола пересекает ось $y$ выше оси $x$, значит, ордината точки пересечения положительна. Следовательно, $c > 0$.

3. Знак коэффициента $b$. Знак коэффициента $b$ связан с абсциссой вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике вершина параболы лежит на оси $y$, поэтому её абсцисса $x_0 = 0$. Из равенства $-\frac{b}{2a} = 0$ следует, что $b = 0$.

Ответ: $a < 0, b = 0, c > 0$.

2)

Проанализируем график функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Знак коэффициента $a$. Ветви параболы направлены вверх, из этого следует, что $a > 0$.

2. Знак коэффициента $c$. Парабола пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше оси $x$), следовательно, $c = y(0) > 0$.

3. Знак коэффициента $b$. Абсцисса вершины параболы $x_0$ положительна, так как вершина находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$). Используя формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$, получаем, что $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как мы уже определили, что $a > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $b < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0$.

3)

Проанализируем график функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Знак коэффициента $a$. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$. Парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $x$), следовательно, $c = y(0) < 0$.

3. Знак коэффициента $b$. Абсцисса вершины параболы $x_0$ отрицательна, так как вершина находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$). Используя формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$, получаем, что $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a < 0$, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным, то есть $b < 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0$.

4)

Проанализируем график функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Знак коэффициента $a$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак коэффициента $c$. Парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $x$), следовательно, $c = y(0) < 0$.

3. Знак коэффициента $b$. Абсцисса вершины параболы $x_0$ отрицательна, так как вершина находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$). Используя формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$, получаем, что $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a > 0$, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть положительным, то есть $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c < 0$.