Номер 25, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 25, страница 102.

Условие.

25. Постройте график функции $y = \begin{cases} (x - 1)^2, \text{ если } x \ge -1, \\ -\frac{4}{x}, \text{ если } x < -1 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим ее график, рассмотрев каждый участок отдельно.

1. При $x \ge -1$ функция имеет вид $y = (x - 1)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Найдем координаты нескольких точек для построения этой части графика:

• При $x = -1$, $y = (-1 - 1)^2 = 4$. Точка $(-1, 4)$ является крайней левой точкой этого участка графика.
• При $x = 0$, $y = (0 - 1)^2 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = (1 - 1)^2 = 0$. Точка $(1, 0)$ — вершина.
• При $x = 2$, $y = (2 - 1)^2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• При $x = 3$, $y = (3 - 1)^2 = 4$. Точка $(3, 4)$.

2. При $x < -1$ функция имеет вид $y = -\frac{4}{x}$. Это гипербола, расположенная во второй и четвертой координатных четвертях. Так как $x < -1$, мы рассматриваем только ее часть во второй четверти. Найдем координаты нескольких точек для построения:

• На границе области, при $x$, стремящемся к $-1$ слева, $y$ стремится к $-\frac{4}{-1} = 4$. Таким образом, график подходит к точке $(-1, 4)$, но сама точка не включается (является выколотой).
• При $x = -2$, $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• При $x = -4$, $y = -\frac{4}{-4} = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Совместим графики на одной координатной плоскости. Так как на первом участке точка $(-1, 4)$ принадлежит графику, а на втором участке график стремится к этой же точке, разрыва в точке $x = -1$ нет.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с построенным графиком одну или две общие точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая.

Проанализируем количество точек пересечения, рассматривая различные значения $m$ на графике:

• Если $m < 0$, прямая $y=m$ не пересекает график, так как все значения функции неотрицательны. 0 общих точек.
• Если $m = 0$, прямая $y=0$ касается графика в одной точке — вершине параболы $(1, 0)$. 1 общая точка.
• Если $0 < m < 4$, прямая пересекает график в трех точках: один раз на ветви гиперболы и два раза на параболе. 3 общие точки.
• Если $m = 4$, прямая проходит через точку $(-1, 4)$ и пересекает параболу в точке $(3, 4)$. 2 общие точки.
• Если $m > 4$, прямая пересекает параболу только в одной точке (на ее правой ветви). С левой ветвью параболы (на участке $x \in [-1, 1)$) и с гиперболой пересечений нет, так как их значения $y$ не превышают 4. 1 общая точка.

Таким образом, прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m=0$ и при $m \ge 4$.

Ответ: $m = 0; m \ge 4$.