Номер 21, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 21, страница 99.

Условие.

21. Известно, что графики функций $y = -x^2 + p$ и $y = -4x + 5$ имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Решение.

Ответ:

Решение.

Определите координаты этой точки

Чтобы найти общие точки графиков функций $y = -x^2 + p$ и $y = -4x + 5$, необходимо приравнять их правые части. В общей точке значения $x$ и $y$ должны быть одинаковыми для обеих функций.

$-x^2 + p = -4x + 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 4x + 5 - p = 0$

По условию, графики имеют ровно одну общую точку. Это означает, что полученное квадратное уравнение должно иметь ровно один действительный корень. Это возможно только в том случае, если дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + (5 - p) = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=5-p$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - p) = 16 - 20 + 4p = 4p - 4$

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значение параметра $p$:

$4p - 4 = 0$

$4p = 4$

$p = 1$

Теперь, зная $p$, найдем единственный корень уравнения (абсциссу общей точки) по формуле $x = -b / (2a)$:

$x = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$

Чтобы найти ординату общей точки, подставим найденное значение $x=2$ в уравнение любой из функций. Удобнее использовать уравнение прямой:

$y = -4x + 5 = -4(2) + 5 = -8 + 5 = -3$

Таким образом, координаты единственной общей точки: $(2, -3)$.

Постройте графики заданных функций в одной системе координат

Мы нашли, что $p=1$. Следовательно, необходимо построить графики функций $y = -x^2 + 1$ и $y = -4x + 5$.

1. График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола. Ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-3	0	1	0	-3

2. График функции $y = -4x + 5$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Используем точку пересечения с осью $Oy$ и найденную общую точку:

• Точка пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
• Общая точка (точка касания): $(2, -3)$.

Далее на координатной плоскости строим параболу по точкам из таблицы и проводим прямую через точки $(0, 5)$ и $(2, -3)$.

Ответ: $(2, -3)$