Номер 17, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 17, страница 17.

Условие.

17. Найдите множество решений неравенства:

1) $3x^2 + 4|x| - 4 < 0$;

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

$$\begin{cases} x \ge 0, \\ 3x^2 + 4x - 4 < 0, \end{cases}$$

$$\begin{cases} x < 0, \\ \end{cases}$$

Решим первую систему совокупности:

Ответ:

2) $x|x| - 2x - 8 \le 0$.

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

$$\begin{cases} \\ \end{cases}$$

Ответ:

Решение.

1) $3x^2 + 4|x| - 4 < 0;$

Данное неравенство содержит модуль, поэтому для его решения рассмотрим два случая, на которые разбивается числовая ось точкой $x=0$. Это равносильно решению совокупности двух систем.

Случай 1: $x \ge 0$.

При этом условии $|x| = x$, и неравенство принимает вид:

$3x^2 + 4x - 4 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 4x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = -2$; $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3x^2 + 4x - 4$ направлены вверх, неравенство $3x^2 + 4x - 4 < 0$ выполняется при $x \in (-2; \frac{2}{3})$.

Учитывая условие $x \ge 0$, получаем решение для первого случая: $x \in [0; \frac{2}{3})$.

Случай 2: $x < 0$.

При этом условии $|x| = -x$, и неравенство принимает вид:

$3x^2 + 4(-x) - 4 < 0$

$3x^2 - 4x - 4 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = 2$.

Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 4$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 4x - 4 < 0$ выполняется при $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.

Учитывая условие $x < 0$, получаем решение для второго случая: $x \in (-\frac{2}{3}; 0)$.

Объединяя решения, полученные в двух случаях, находим множество всех решений исходного неравенства:

$(-\frac{2}{3}; 0) \cup [0; \frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

2) $x|x| - 2x - 8 \le 0;$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$, и неравенство становится:

$x \cdot x - 2x - 8 \le 0$

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 2x - 8 \le 0$ есть промежуток $[-2; 4]$.

С учетом условия $x \ge 0$, решение для этого случая: $x \in [0; 4]$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$, и неравенство становится:

$x \cdot (-x) - 2x - 8 \le 0$

$-x^2 - 2x - 8 \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x + 8 \ge 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 8$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 8$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 8 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

С учетом условия $x < 0$, решение для этого случая: $x \in (-\infty; 0)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

$(-\infty; 0) \cup [0; 4] = (-\infty; 4]$.

Ответ: $(-\infty; 4]$.