Номер 20, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 20, страница 23.

Условие.

20. При каких значениях $a$ неравенство $-5x^2 + (a - 2)x - 5 \ge 0$ не имеет решений?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Данное неравенство $-5x^2 + (a - 2)x - 5 \ge 0$ является квадратным.

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + (a - 2)x - 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $-5$ отрицателен.

Неравенство не имеет решений, если график функции $y = -5x^2 + (a - 2)x - 5$ полностью расположен ниже оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что для любого значения $x$ должно выполняться условие $y < 0$.

Парабола с ветвями, направленными вниз, будет полностью расположена ниже оси $Ox$ в том и только в том случае, если она не имеет с этой осью общих точек, то есть соответствующее квадратное уравнение $-5x^2 + (a - 2)x - 5 = 0$ не имеет действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ строго меньше нуля.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (a - 2)^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = (a - 2)^2 - 100$.

Составим и решим неравенство $D < 0$: $(a - 2)^2 - 100 < 0$

$(a - 2)^2 < 100$

$|a - 2| < 10$

Это неравенство равносильно системе: $-10 < a - 2 < 10$

Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства: $-10 + 2 < a < 10 + 2$

$-8 < a < 12$

Таким образом, при $a \in (-8; 12)$ неравенство не имеет решений.

Ответ: при $a \in (-8; 12)$.