Номер 14, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 15. Процентные расчёты - номер 14, страница 54.

Условие.

14. Некоторый товар стоил 2500 р. После того как его цена была снижена дважды, он стал стоить 1700 р., причём процент снижения цены во второй раз был на 5% больше, чем в первый. На сколько процентов снизили цену в первый раз?

Решение.

Пусть в первый раз цену снизили на $x\%$, тогда во второй раз её снизили на $(x+5)\%.$

После первого снижения цена товара стала $2500\left(1-\frac{x}{100}\right)$ р., а после

второго $-$ $2500\left(1-\frac{x}{100}\right)()$ р.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть в первый раз цену снизили на $x\%$.

Согласно условию, процент снижения цены во второй раз был на 5% больше, чем в первый. Следовательно, во второй раз цену снизили на $(x+5)\%$.

Изначальная цена товара составляла 2500 рублей. После первого снижения на $x\%$ цена товара стала:

$P_1 = 2500 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$ рублей.

Затем эту новую цену $P_1$ снизили ещё на $(x+5)\%$. Конечная цена товара стала 1700 рублей. Можем составить уравнение:

$P_2 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x+5}{100}\right) = 2500 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x+5}{100}\right) = 1700$

Решим полученное уравнение:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x+5}{100}\right) = \frac{1700}{2500}$

$\left(\frac{100-x}{100}\right) \cdot \left(\frac{100 - (x+5)}{100}\right) = \frac{17}{25}$

$\left(\frac{100-x}{100}\right) \cdot \left(\frac{95-x}{100}\right) = \frac{17}{25}$

$\frac{(100-x)(95-x)}{10000} = \frac{17}{25}$

Умножим обе части уравнения на 10000:

$(100-x)(95-x) = \frac{17}{25} \cdot 10000$

$(100-x)(95-x) = 17 \cdot 400$

$(100-x)(95-x) = 6800$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$9500 - 100x - 95x + x^2 = 6800$

Приведем подобные члены и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 195x + 9500 - 6800 = 0$

$x^2 - 195x + 2700 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-195)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2700 = 38025 - 10800 = 27225$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{195 \pm \sqrt{27225}}{2 \cdot 1} = \frac{195 \pm 165}{2}$

$x_1 = \frac{195 + 165}{2} = \frac{360}{2} = 180$

$x_2 = \frac{195 - 165}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Корень $x_1 = 180$ не имеет экономического смысла в данной задаче, так как снижение цены не может быть больше 100%.

Следовательно, единственным подходящим решением является $x=15$.

Таким образом, в первый раз цену снизили на 15%.

Ответ: 15%.