Номер 15, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 15. Процентные расчёты - номер 15, страница 55.

Условие.

15. Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен в 2 раза. В конце второго года на счёте оказалось 67 392 р., при этом никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом не проводилось. Сколько процентов годовых ему начислили в первый год?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $S_0 = 60000$ рублей — первоначальная сумма вклада. Пусть $p$ — искомый процент годовых, начисленный в первый год. Тогда множитель для начисления процентов за первый год равен $(1 + \frac{p}{100})$. Сумма на счёте после первого года ($S_1$) составит:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Во второй год процентная ставка была уменьшена в 2 раза и составила $\frac{p}{2}$%. Множитель для начисления процентов за второй год равен $(1 + \frac{p/2}{100}) = (1 + \frac{p}{200})$. Сумма на счёте после второго года ($S_2$) вычисляется на основе суммы на начало второго года ($S_1$):
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p}{200})$

Объединим формулы, подставив выражение для $S_1$ в формулу для $S_2$:
$S_2 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{200})$
По условию, $S_2 = 67392$ рубля. Подставим все известные значения в уравнение:
$67392 = 60000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{200})$

Решим полученное уравнение относительно $p$.
Разделим обе части на 60 000:
$\frac{67392}{60000} = (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{200})$
$1.1232 = (\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{200+p}{200})$
Умножим обе части на $100 \cdot 200 = 20000$:
$1.1232 \cdot 20000 = (100+p)(200+p)$
$22464 = 20000 + 100p + 200p + p^2$
Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$p^2 + 300p + 20000 - 22464 = 0$
$p^2 + 300p - 2464 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 300^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2464) = 90000 + 9856 = 99856$
$\sqrt{D} = \sqrt{99856} = 316$
Теперь найдём значения $p$:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-300 + 316}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-300 - 316}{2 \cdot 1} = \frac{-616}{2} = -308$

Так как процентная ставка по вкладу является положительной величиной, нам подходит только корень $p=8$.
Следовательно, в первый год вкладчику начислили 8 процентов годовых.

Ответ: 8%.