Номер 6, страница 135 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

XII. Строение и эволюция Вселенной. Считаем и сравниваем - номер 6, страница 135.

Условие.

6. Рассчитайте радиус (радиус Шварцшильда), до которого необходимо сжать Солнце ($m = 2 \cdot 10^{30}$ кг), Юпитер ($m = 1,9 \cdot 10^{27}$ кг), Землю ($m = 6 \cdot 10^{24}$ кг), Меркурий ($m = 3,31 \cdot 10^{23}$ кг) и Луну ($m = 7,6 \cdot 10^{22}$ кг), чтобы они превратились в чёрные дыры. Для этого воспользуйтесь формулой $r_s = m \cdot 1,48 \cdot 10^{-27}$, где $r_s$ измеряется в метрах и $\text{m}$ - в килограммах. Сравните размеры получившихся объектов с объектами окружающего нас мира (вулкан Килиманджаро, двухэтажный дом, лесной орех и т. д.).

Решение.

Дано:

Масса Солнца $m_{Солнца} = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Масса Юпитера $m_{Юпитера} = 1,9 \cdot 10^{27}$ кг

Масса Земли $m_{Земли} = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Масса Меркурия $m_{Меркурия} = 3,31 \cdot 10^{23}$ кг

Масса Луны $m_{Луны} = 7,6 \cdot 10^{22}$ кг

Формула для радиуса Шварцшильда: $r_s = m \cdot 1,48 \cdot 10^{-27}$, где $r_s$ в метрах (м), а $\text{m}$ в килограммах (кг).

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиусы Шварцшильда для Солнца ($r_{s(Солнца)}$), Юпитера ($r_{s(Юпитера)}$), Земли ($r_{s(Земли)}$), Меркурия ($r_{s(Меркурия)}$) и Луны ($r_{s(Луны)}$).

Решение:

Для расчета радиуса Шварцшильда каждого объекта воспользуемся предложенной формулой, подставляя в нее массу соответствующего небесного тела.

Солнце

Подставим массу Солнца в формулу:

$r_{s(Солнца)} = (2 \cdot 10^{30} \text{ кг}) \cdot (1,48 \cdot 10^{-27} \frac{\text{м}}{\text{кг}}) = 2,96 \cdot 10^3 \text{ м} = 2960 \text{ м} = 2,96 \text{ км}$

Полученный радиус составляет почти 3 км. Это сопоставимо с высотой небольшой горы или длиной взлетно-посадочной полосы крупного аэропорта. Высота вулкана Килиманджаро (около 5,9 км) примерно в два раза больше этого радиуса.

Ответ: $2960$ м.

Юпитер

Подставим массу Юпитера в формулу:

$r_{s(Юпитера)} = (1,9 \cdot 10^{27} \text{ кг}) \cdot (1,48 \cdot 10^{-27} \frac{\text{м}}{\text{кг}}) = 2,812 \text{ м}$

Радиус Шварцшильда для Юпитера составляет примерно 2,8 метра. Это сопоставимо с высотой потолков в жилом доме или высотой ворот для мини-футбола. Это значительно меньше двухэтажного дома.

Ответ: $2,812$ м.

Земля

Подставим массу Земли в формулу:

$r_{s(Земли)} = (6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (1,48 \cdot 10^{-27} \frac{\text{м}}{\text{кг}}) = 8,88 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 8,88 \text{ мм}$

Радиус чуть меньше 9 мм. Это размер, сопоставимый с небольшой ягодой (например, смородиной) или горошиной. Лесной орех обычно имеет диаметр около 1,5-2 см, так что если бы Землю сжали до состояния черной дыры, она была бы размером с очень маленький орешек.

Ответ: $8,88$ мм.

Меркурий

Подставим массу Меркурия в формулу:

$r_{s(Меркурия)} = (3,31 \cdot 10^{23} \text{ кг}) \cdot (1,48 \cdot 10^{-27} \frac{\text{м}}{\text{кг}}) \approx 4,9 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,49 \text{ мм}$

Радиус около 0,5 мм. Это размер, сравнимый с размером крупной песчинки, макового зернышка или толщиной грифеля в механическом карандаше.

Ответ: $\approx 0,49$ мм.

Луна

Подставим массу Луны в формулу:

$r_{s(Луны)} = (7,6 \cdot 10^{22} \text{ кг}) \cdot (1,48 \cdot 10^{-27} \frac{\text{м}}{\text{кг}}) \approx 1,12 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,112 \text{ мм}$

Радиус Шварцшильда для Луны составляет около 0,11 мм или 110 микрон. Этот размер сопоставим с толщиной человеческого волоса или обычного листа бумаги для принтера.

Ответ: $\approx 0,112$ мм.