Номер 2.13, страница 11 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

II. Механические колебания и волны - номер 2.13, страница 11.

Условие.

2.13 Определите длины маятников, если за одно и то же время один из них делал 90 колебаний, а другой — 60. Известно, что длина нити одного маятника короче длины нити другого на 40 см.

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 90$.

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 60$.

Время колебаний, $t_1 = t_2 = t$.

Разность длин маятников, $\Delta l = 40$ см.

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0.4$ м.

Найти:

Длины маятников $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ - длина маятника, а $g$ - ускорение свободного падения.

Также период можно выразить через число колебаний $N$ за время $t$:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем формулы периодов для двух маятников:

$T_1 = \frac{t}{N_1} = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = \frac{t}{N_2} = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Чем больше число колебаний за одно и то же время, тем меньше период колебаний, и, следовательно, тем короче маятник. Поскольку $N_1 > N_2$ ($90 > 60$), то $T_1 < T_2$, и, значит, $l_1 < l_2$.

По условию задачи, разность длин составляет 40 см, поэтому:

$l_2 - l_1 = \Delta l$ или $l_2 = l_1 + \Delta l$.

Разделим выражение для периода второго маятника на выражение для периода первого:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t/N_2}{t/N_1} = \frac{N_1}{N_2}$

С другой стороны:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{N_1}{N_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим известные значения и выражение для $l_2$:

$\frac{90}{60} = \sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{l_1}}$

$\frac{3}{2} = \sqrt{1 + \frac{\Delta l}{l_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{\Delta l}{l_1}$

$\frac{9}{4} = 1 + \frac{\Delta l}{l_1}$

Выразим $l_1$:

$\frac{\Delta l}{l_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

$l_1 = \frac{4}{5}\Delta l$

Подставим значение $\Delta l$ в метрах:

$l_1 = \frac{4}{5} \cdot 0.4 \text{ м} = 0.8 \cdot 0.4 \text{ м} = 0.32 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника $l_2$:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.32 \text{ м} + 0.4 \text{ м} = 0.72 \text{ м}$

Длины маятников равны 0.32 м (32 см) и 0.72 м (72 см).

Ответ: длина одного маятника 32 см, другого — 72 см.