Номер 8, страница 118, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 27. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 8, страница 118.

Условие.

8. Определите скорость, которую необходимо сообщить искусственному спутнику Земли (ИСЗ), чтобы он двигался вокруг неё по круговой орбите на высоте 500 км. Массу Земли примите равной $6 \cdot 10^{24}$ кг, а её радиус — 6400 км.

Решение.

Дано:

Высота орбиты ИСЗ, $h = 500$ км

Масса Земли, $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли, $R_З = 6400$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 500 \cdot 10^3 \text{ м} = 0.5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника, $\text{v}$ - ?

Решение:

Чтобы искусственный спутник Земли (ИСЗ) двигался по круговой орбите, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, должна быть равна центростремительной силе. Это следует из второго закона Ньютона, примененного к телу, движущемуся по окружности.

$F_ц = F_т$

где $F_ц$ — центростремительная сила, а $F_т$ — сила тяготения.

Центростремительная сила определяется формулой: $F_ц = \frac{m v^2}{r}$, где $\text{m}$ — масса спутника, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $\text{r}$ — радиус орбиты.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения: $F_т = G \frac{M m}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли.

Приравниваем правые части выражений для сил:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$

Сокращаем массу спутника $\text{m}$ и радиус орбиты $\text{r}$ в знаменателе. Получаем выражение для квадрата скорости:

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Отсюда находим скорость:

$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $\text{h}$ над поверхностью Земли:

$r = R_З + h$

Подставим числовые значения для радиуса орбиты в системе СИ:

$r = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.5 \cdot 10^6 \text{ м} = 6.9 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6.9 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{6.9 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.8 \cdot 10^{7}} \approx \sqrt{58 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v \approx 7.616 \cdot 10^3 \text{ м/с} \approx 7616 \text{ м/с}$

Ответ: скорость, которую необходимо сообщить искусственному спутнику Земли, составляет примерно $7616$ м/с (или $7.6$ км/с).