Номер 7, страница 118, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 27. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 7, страница 118.

Условие.

7. Получите формулу для вычисления гравитационной постоянной, если известны масса Солнца, радиусы и периоды обращения планет Солнечной системы. Вычислите значение гравитационной постоянной и сравните его с табличным значением.

Решение.

Получение формулы для вычисления гравитационной постоянной

Рассмотрим планету массой $\text{m}$, вращающуюся вокруг Солнца массой $\text{M}$ по круговой орбите радиусом $\text{r}$ с периодом обращения $\text{T}$.

Согласно второму закону Ньютона, сила, вызывающая центростремительное ускорение планеты, равна гравитационной силе, действующей на нее со стороны Солнца.

Гравитационная сила: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Сила, сообщающая центростремительное ускорение: $F_c = m a_c$.

Центростремительное ускорение $a_c$ выражается через линейную скорость $\text{v}$ как $a_c = \frac{v^2}{r}$. Линейная скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ формулой $v = \frac{2\pi r}{T}$.

Подставим выражение для скорости в формулу ускорения: $a_c = \frac{(2\pi r / T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

Приравняем гравитационную силу и силу, сообщающую центростремительное ускорение:

$F_g = F_c$

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сократим массу планеты $\text{m}$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Теперь выразим гравитационную постоянную $\text{G}$:

$G = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \cdot \frac{r^2}{M}$

$G = \frac{4\pi^2 r^3}{M T^2}$

Эта формула позволяет вычислить гравитационную постоянную, зная массу Солнца, а также радиус орбиты и период обращения любой планеты.

Ответ: Формула для вычисления гравитационной постоянной: $G = \frac{4\pi^2 r^3}{M T^2}$.

Вычисление значения гравитационной постоянной

Для вычисления воспользуемся данными для планеты Земля.

Дано:

Масса Солнца, $M = 1.989 \times 10^{30}$ кг

Средний радиус орбиты Земли, $r = 149.6 \times 10^6$ км

Период обращения Земли, $T = 365.25$ суток

$\pi \approx 3.14159$

Перевод в систему СИ:

$M = 1.989 \times 10^{30}$ кг

$r = 149.6 \times 10^6 \text{ км} = 1.496 \times 10^{11}$ м

$T = 365.25 \text{ суток} \times 24 \text{ ч/сутки} \times 3600 \text{ с/ч} \approx 3.156 \times 10^7$ с

Найти:

$G - ?$

Решение:

Подставим числовые значения в выведенную формулу:

$G = \frac{4\pi^2 r^3}{M T^2} = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot (1.496 \times 10^{11} \text{ м})^3}{(1.989 \times 10^{30} \text{ кг}) \cdot (3.156 \times 10^7 \text{ с})^2}$

$G \approx \frac{4 \cdot 9.8696 \cdot 3.348 \times 10^{33} \text{ м}^3}{1.989 \times 10^{30} \text{ кг} \cdot 9.96 \times 10^{14} \text{ с}^2} \approx \frac{1.3218 \times 10^{35} \text{ м}^3}{1.981 \times 10^{45} \text{ кг} \cdot \text{с}^2}$

$G \approx 0.6672 \times 10^{-10} \frac{м^3}{кг \cdot с^2} \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{м^3}{кг \cdot с^2}$

Так как $1 \text{ Н} = 1 \frac{кг \cdot м}{с^2}$, то единицу измерения можно преобразовать: $\frac{м^3}{кг \cdot с^2} = \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$.

Ответ: $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$.

Сравнение с табличным значением

Табличное (принятое) значение гравитационной постоянной составляет $G_{табл} \approx 6.67430 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$.

Наше вычисленное значение $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$ очень близко к табличному. Небольшое расхождение объясняется тем, что в расчетах использовались округленные значения, а также допущения, что орбита Земли является идеальной окружностью, и что на движение Земли не влияют другие планеты Солнечной системы.

Ответ: Рассчитанное значение гравитационной постоянной ($6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$) практически совпадает с табличным значением ($6.67430 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$), что подтверждает корректность выведенной формулы и использованных физических законов.