Номер 5, страница 118, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 27. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 5, страница 118.

Условие.

5. Стратостат поднялся на высоту 30 км. На сколько изменилось на этой высоте ускорение свободного падения? Радиус Земли примите равным 6400 км.

Решение.

Дано:

Высота подъема, $h = 30 \text{ км}$

Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (стандартное значение), $g_0 \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$h = 30 \times 10^3 \text{ м}$
$R_З = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Изменение ускорения свободного падения, $\Delta g$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на некотором расстоянии $\text{r}$ от центра Земли определяется по закону всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, поэтому ускорение свободного падения $g_0$ равно:

$g_0 = G \frac{M}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до центра составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте, $g_h$, будет равно:

$g_h = G \frac{M}{(R_З+h)^2}$

Чтобы найти, как изменилось ускорение, найдем разность $\Delta g = g_0 - g_h$.

Для этого выразим $g_h$ через $g_0$. Разделим выражение для $g_h$ на выражение для $g_0$:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G M / (R_З+h)^2}{G M / R_З^2} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$

Отсюда получаем: $g_h = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$.

Теперь можем найти изменение ускорения:

$\Delta g = g_0 - g_h = g_0 - g_0 \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2 = g_0 \left(1 - \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2\right)$

Подставим числовые значения. При вычислении отношения $\frac{R_З}{R_З+h}$ можно использовать значения в километрах, так как единицы измерения сократятся.

$\Delta g = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \left(1 - \left(\frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 30 \text{ км}}\right)^2\right) = 9.8 \cdot \left(1 - \left(\frac{6400}{6430}\right)^2\right)$

$\Delta g = 9.8 \cdot \left(1 - \left(\frac{640}{643}\right)^2\right) \approx 9.8 \cdot (1 - 0.995334^2) \approx 9.8 \cdot (1 - 0.99069) \approx 9.8 \cdot 0.00931$

$\Delta g \approx 0.0912 \text{ м/с}^2$

При подъеме на высоту ускорение свободного падения уменьшается.

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте 30 км уменьшилось примерно на $0.091 \text{ м/с}^2$.