Номер 9, страница 118, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 27. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 9, страница 118.

Условие.

9. Во сколько раз отличаются скорости двух искусственных спутников Земли одинаковой массы, если отношение их расстояний до центра Земли равно четырём?

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2$ (массы спутников одинаковы)

$\frac{r_2}{r_1} = 4$ (отношение расстояний до центра Земли)

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$ — отношение скоростей спутников.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения к центростремительной силе.

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник, определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, а $\text{r}$ — расстояние от спутника до центра Земли (радиус орбиты).

Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, равна:

$F_c = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{v}$ — орбитальная скорость спутника.

Приравняем эти две силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ (от которой, как видим, скорость не зависит) и радиус $\text{r}$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда выразим формулу для первой космической скорости на высоте $\text{r}$ от центра планеты:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Из этой формулы видно, что скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса его орбиты.

Теперь запишем выражения для скоростей двух спутников. Пусть $v_1$ и $r_1$ — скорость и радиус орбиты первого спутника, а $v_2$ и $r_2$ — второго.

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{r_1}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{G M}{r_2}}$

Найдем, во сколько раз отличаются их скорости, составив отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{r_1}}}{\sqrt{\frac{G M}{r_2}}} = \sqrt{\frac{G M}{r_1} \cdot \frac{r_2}{G M}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$

По условию задачи, отношение расстояний $\frac{r_2}{r_1} = 4$. Подставим это значение в полученную формулу:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, скорость спутника, находящегося на меньшем расстоянии от Земли, в 2 раза больше скорости спутника на более далекой орбите.

Ответ: Скорости двух спутников отличаются в 2 раза.