Номер 10, страница 118, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 27. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 10, страница 118.

Условие.

10. Определите радиус орбиты геостационарного спутника Земли. Геостационарный спутник всё время находится над одной и той же точкой на экваторе.

Решение.

Дано:

Геостационарный спутник Земли.

Из справочных данных:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Период вращения Земли $T \approx 24 \text{ ч}$

Перевод в систему СИ:

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Радиус орбиты $r - ?$

Решение:

Геостационарный спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора и всё время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Это означает, что угловая скорость вращения спутника вокруг центра Земли равна угловой скорости вращения самой Земли. Следовательно, период обращения спутника $\text{T}$ равен периоду вращения Земли вокруг своей оси, то есть $T = 24$ часа.

На спутник, движущийся по орбите, действует сила всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на круговой орбите. По второму закону Ньютона:

$F_{ц.с.} = F_г$

где $F_{ц.с.}$ — центростремительная сила, а $F_г$ — гравитационная сила.

Центростремительная сила выражается через массу спутника $\text{m}$ и его угловую скорость $\omega$:

$F_{ц.с.} = m \cdot a_{ц.с.} = m \cdot \omega^2 r$

Гравитационная сила определяется законом всемирного тяготения:

$F_г = G \frac{M_З m}{r^2}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$m \omega^2 r = G \frac{M_З m}{r^2}$

Масса спутника $\text{m}$ сокращается:

$\omega^2 r = G \frac{M_З}{r^2}$

Выразим радиус орбиты $\text{r}$ из этого уравнения:

$r^3 = \frac{G M_З}{\omega^2}$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим выражение для угловой скорости в формулу для $r^3$:

$r^3 = \frac{G M_З}{(2\pi/T)^2} = \frac{G M_З T^2}{4\pi^2}$

Отсюда находим радиус орбиты:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг} \cdot (86400 \text{ с})^2}{4 \cdot (3.14159)^2}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 5.97 \cdot 10^{13} \cdot 74649600}{39.478}} \text{ м}$

$r = \sqrt[3]{\frac{2.972 \cdot 10^{24}}{39.478}} \text{ м} = \sqrt[3]{7.529 \cdot 10^{22}} \text{ м}$

$r \approx 4.22 \cdot 10^7 \text{ м}$

Переведем радиус в километры для наглядности:

$r \approx 42200 \text{ км}$

Ответ: радиус орбиты геостационарного спутника Земли составляет приблизительно $4.22 \cdot 10^7$ м или 42200 км.