Номер 11, страница 198, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 5. Законы сохранения в механике. Параграф 48. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 11, страница 198.

Условие.

11. С какой начальной скоростью нужно бросить вниз мяч с высоты 1 м, чтобы после абсолютно упругого удара он подпрыгнул на высоту 2 м? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

Дано:

$h_1 = 1$ м (начальная высота)
$h_2 = 2$ м (высота отскока)
Удар абсолютно упругий.
$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$ — начальная скорость мяча.

Решение:

Решение задачи основано на законе сохранения механической энергии. Рассмотрим движение мяча в два этапа: после удара и до удара.

1. Сначала определим, с какой скоростью $v_{отск}$ мяч должен оторваться от земли (отскочить), чтобы подняться на высоту $h_2$. В момент отрыва его кинетическая энергия равна $E_k = \frac{1}{2}mv_{отск}^2$. На максимальной высоте $h_2$ его скорость равна нулю, а потенциальная энергия $E_p = mgh_2$. По закону сохранения энергии:
$\frac{1}{2}mv_{отск}^2 = mgh_2$
$v_{отск} = \sqrt{2gh_2}$

2. По условию удар абсолютно упругий. Это означает, что кинетическая энергия сохраняется, и, следовательно, модуль скорости мяча не изменяется при ударе. Скорость мяча непосредственно перед ударом ($v_{пад}$) равна скорости сразу после удара ($v_{отск}$):
$v_{пад} = v_{отск} = \sqrt{2gh_2}$

3. Теперь рассмотрим падение мяча. Мяч бросают с высоты $h_1$ с начальной скоростью $v_0$. Его полная механическая энергия в начальный момент ($E_{нач} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1$) по закону сохранения энергии равна его полной механической энергии непосредственно перед ударом ($E_{кон} = \frac{1}{2}mv_{пад}^2$):
$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_{пад}^2$

4. Подставим в последнее уравнение выражение для $v_{пад}$:
$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gh_2})^2$
Сократим массу $\text{m}$ и преобразуем уравнение:
$\frac{1}{2}v_0^2 + gh_1 = \frac{1}{2}m(2gh_2)$
$\frac{1}{2}v_0^2 + gh_1 = gh_2$
Выразим отсюда искомую начальную скорость $v_0$:
$\frac{1}{2}v_0^2 = gh_2 - gh_1 = g(h_2 - h_1)$
$v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)$
$v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$

5. Выполним вычисления, подставив числовые значения:
$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot (2 \, \text{м} - 1 \, \text{м})} = \sqrt{20 \cdot 1 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{20} \, \text{м/с}$
$v_0 = 2\sqrt{5} \, \text{м/с} \approx 4,47 \, \text{м/с}$

Ответ: начальная скорость, с которой нужно бросить мяч, составляет примерно $4,47$ м/с.