Номер 12, страница 198, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 5. Законы сохранения в механике. Параграф 48. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 12, страница 198.

Условие.

12. Спортсмен по прыжкам в воду прыгает с трамплина высотой 5 м над поверхностью воды вертикально вверх со скоростью 5 м/с. С какой скоростью спортсмен входит в воду при прыжке? Определите среднюю силу сопротивления воды, если он после прыжка погружается на глубину 3 м. Масса спортсмена 50 кг.

Решение.

Дано:

Высота трамплина над водой, $h_1 = 5 \text{ м}$

Начальная скорость спортсмена, $v_0 = 5 \text{ м/с}$ (направлена вертикально вверх)

Масса спортсмена, $m = 50 \text{ кг}$

Глубина погружения в воду, $d = 3 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Скорость спортсмена при входе в воду, $v_f$

2. Среднюю силу сопротивления воды, $F_{сопр}$

Решение:

Решим задачу по частям, отвечая на каждый вопрос последовательно.

С какой скоростью спортсмен входит в воду при прыжке?

Для определения скорости спортсмена в момент входа в воду воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$) примем поверхность воды. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Начальная полная механическая энергия спортсмена на трамплине ($E_1$) складывается из его кинетической и потенциальной энергий:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{m v_0^2}{2} + mgh_1$

Конечная полная механическая энергия спортсмена в момент касания воды ($E_f$) равна его кинетической энергии, так как высота над нулевым уровнем равна нулю:

$E_f = \frac{m v_f^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_f$:

$\frac{m v_0^2}{2} + mgh_1 = \frac{m v_f^2}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ и умножим обе части на 2:

$v_0^2 + 2gh_1 = v_f^2$

Отсюда находим искомую скорость $v_f$:

$v_f = \sqrt{v_0^2 + 2gh_1}$

Подставим числовые значения:

$v_f = \sqrt{(5 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{25 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{125 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 5\sqrt{5} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v_f \approx 11,2 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость, с которой спортсмен входит в воду, составляет $5\sqrt{5} \text{ м/с}$, что приблизительно равно $11,2 \text{ м/с}$.

Определите среднюю силу сопротивления воды, если он после прыжка погружается на глубину 3 м.

Для определения средней силы сопротивления воды воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил. В данном случае такой силой является сила сопротивления воды $F_{сопр}$.

Рассмотрим движение спортсмена в воде. Начальное состояние — момент входа в воду, конечное — остановка на глубине $\text{d}$. За нулевой уровень потенциальной энергии примем самое глубокое положение спортсмена.

Начальная энергия системы (на поверхности воды, на высоте $\text{d}$ от нулевого уровня):

$E_{нач} = E_{к,нач} + E_{п,нач} = \frac{m v_f^2}{2} + mgd$

Конечная энергия системы (на глубине $\text{d}$):

$E_{кон} = 0$ (скорость равна нулю, и высота над нулевым уровнем равна нулю).

Работа силы сопротивления воды $A_{сопр}$ на пути $\text{d}$ отрицательна, так как сила направлена против движения:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot d$

Теорема об изменении энергии: $\Delta E = A_{сопр}$

$E_{кон} - E_{нач} = A_{сопр}$

$0 - (\frac{m v_f^2}{2} + mgd) = -F_{сопр} \cdot d$

$\frac{m v_f^2}{2} + mgd = F_{сопр} \cdot d$

Выразим силу сопротивления $F_{сопр}$:

$F_{сопр} = \frac{m v_f^2}{2d} + mg$

Подставим числовые значения, используя найденное ранее значение $v_f^2 = 125 \text{ (м/с)}^2$:

$F_{сопр} = \frac{50 \text{ кг} \cdot 125 \text{ (м/с)}^2}{2 \cdot 3 \text{ м}} + 50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = \frac{6250}{6} \text{ Н} + 500 \text{ Н} = \frac{3125}{3} \text{ Н} + 500 \text{ Н}$

$F_{сопр} = \frac{3125 + 1500}{3} \text{ Н} = \frac{4625}{3} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$F_{сопр} \approx 1541,7 \text{ Н}$

Ответ: Средняя сила сопротивления воды составляет $\frac{4625}{3} \text{ Н}$, что приблизительно равно $1542 \text{ Н}$.