Номер 3, страница 18 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 3. Силы в механике. Вариант 1 - номер 3, страница 18.

Условие.

3. Космический корабль летит с Земли на Луну по прямой, соединяющей их центры. В какой точке траектории равнодействующая сила притяжения Земли и Луны, действующих на корабль, равна нулю? Примите, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

А. Когда корабль находится на одинаковых расстояниях и от Земли, и от Луны.

Б. Когда расстояние от корабля до Луны в 9 раз меньше расстояния от корабля до Земли.

В. Когда расстояние от корабля до Луны в 81 раз меньше расстояния от корабля до Земли.

Г. Когда расстояние от корабля до Луны в 9 раз больше расстояния от корабля до Земли.

Решение.

Дано:

$M_З$ - масса Земли

$M_Л$ - масса Луны

$m_к$ - масса космического корабля

$M_З = 81 \cdot M_Л$

Равнодействующая сила, действующая на корабль, равна нулю.

Найти:

Условие, при котором равнодействующая сила притяжения Земли и Луны, действующих на корабль, равна нулю.

Решение:

Равнодействующая сила, действующая на космический корабль, будет равна нулю в точке, где сила гравитационного притяжения со стороны Земли ($F_З$) будет равна по модулю и противоположна по направлению силе гравитационного притяжения со стороны Луны ($F_Л$).

Поскольку корабль летит по прямой, соединяющей центры Земли и Луны, силы притяжения будут направлены в противоположные стороны. Условие равенства равнодействующей силы нулю сводится к равенству модулей этих сил:

$F_З = F_Л$

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения между двумя телами вычисляется по формуле:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $r$ — расстояние между их центрами.

Запишем выражения для сил, действующих на корабль массой $m_к$:

Сила притяжения к Земле: $F_З = G \frac{M_З \cdot m_к}{r_З^2}$, где $r_З$ — расстояние от корабля до центра Земли.

Сила притяжения к Луне: $F_Л = G \frac{M_Л \cdot m_к}{r_Л^2}$, где $r_Л$ — расстояние от корабля до центра Луны.

Приравняем эти выражения:

$G \frac{M_З \cdot m_к}{r_З^2} = G \frac{M_Л \cdot m_к}{r_Л^2}$

Можно сократить гравитационную постоянную $G$ и массу корабля $m_к$:

$\frac{M_З}{r_З^2} = \frac{M_Л}{r_Л^2}$

Из условия задачи известно, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны: $M_З = 81 M_Л$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{81 M_Л}{r_З^2} = \frac{M_Л}{r_Л^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$ в обеих частях:

$\frac{81}{r_З^2} = \frac{1}{r_Л^2}$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти соотношение между расстояниями:

$81 r_Л^2 = r_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние — величина положительная, берем только положительные значения корней:

$\sqrt{81 r_Л^2} = \sqrt{r_З^2}$

$9 r_Л = r_З$

Таким образом, расстояние от корабля до Земли ($r_З$) в 9 раз больше расстояния от корабля до Луны ($r_Л$). Это эквивалентно утверждению, что расстояние от корабля до Луны в 9 раз меньше расстояния от корабля до Земли.

Среди предложенных вариантов этому условию соответствует вариант Б.

Ответ: Б. Когда расстояние от корабля до Луны в 9 раз меньше расстояния от корабля до Земли.