Номер 6, страница 19 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 3. Силы в механике. Вариант 1 - номер 6, страница 19.

Условие.

6*. Два искусственных спутника Земли одинаковой массы движутся по круговым орбитам, причём радиус орбиты первого спутника меньше. При этом:

А. на первый спутник действует большая сила тяжести;

Б. центростремительное ускорение второго спутника больше;

В. скорость второго спутника больше;

Г. скорости спутников одинаковы.

Решение.

Дано:
Масса первого спутника: $m_1$
Масса второго спутника: $m_2$
$m_1 = m_2 = m$
Радиус орбиты первого спутника: $r_1$
Радиус орбиты второго спутника: $r_2$
$r_1 < r_2$
Масса Земли: $M$
Гравитационная постоянная: $G$

Найти:
Определить, какое из предложенных утверждений является верным.

Решение:
Для спутника, движущегося по круговой орбите, сила всемирного тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем записать: $F_{тяготения} = F_{центростремительная}$
Сила всемирного тяготения (сила тяжести), действующая на спутник массой $m$ на орбите радиусом $r$ вокруг Земли массой $M$, определяется по формуле:
$F_т = G \frac{M m}{r^2}$
Центростремительная сила выражается через массу спутника $m$, его скорость $v$ и радиус орбиты $r$:
$F_ц = m a_ц = \frac{m v^2}{r}$
где $a_ц$ — центростремительное ускорение. Из равенства сил следует:
$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
Из этого уравнения можно выразить скорость и ускорение спутника. Центростремительное ускорение: $a_ц = G \frac{M}{r^2}$.
Орбитальная скорость: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$.
Проанализируем каждое утверждение на основе этих формул.

А. на первый спутник действует бóльшая сила тяжести;
Сила тяжести, действующая на спутник, обратно пропорциональна квадрату радиуса его орбиты: $F_т \sim \frac{1}{r^2}$.
Для первого спутника сила тяжести равна $F_{т1} = G \frac{M m}{r_1^2}$.
Для второго спутника — $F_{т2} = G \frac{M m}{r_2^2}$.
Поскольку по условию радиус орбиты первого спутника меньше ($r_1 < r_2$), то $r_1^2 < r_2^2$ и, соответственно, $\frac{1}{r_1^2} > \frac{1}{r_2^2}$.
Следовательно, $F_{т1} > F_{т2}$. Утверждение верно.
Ответ: Утверждение А является верным.

Б. центростремительное ускорение второго спутника больше;
Центростремительное ускорение спутника также обратно пропорционально квадрату радиуса орбиты: $a_ц = G \frac{M}{r^2}$.
Для первого спутника: $a_{ц1} = G \frac{M}{r_1^2}$.
Для второго спутника: $a_{ц2} = G \frac{M}{r_2^2}$.
Так как $r_1 < r_2$, то $a_{ц1} > a_{ц2}$. Центростремительное ускорение первого спутника больше, чем у второго.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение Б является неверным.

В. скорость второго спутника больше;
Орбитальная скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$.
Для первого спутника: $v_1 = \sqrt{\frac{G M}{r_1}}$.
Для второго спутника: $v_2 = \sqrt{\frac{G M}{r_2}}$.
Так как $r_1 < r_2$, то $\frac{1}{r_1} > \frac{1}{r_2}$, и, следовательно, $v_1 > v_2$.
Скорость первого спутника (на более низкой орбите) больше скорости второго. Утверждение неверно.
Ответ: Утверждение В является неверным.

Г. скорости спутников одинаковы.
Как показано в предыдущем пункте, скорость зависит от радиуса орбиты. Поскольку радиусы орбит не равны ($r_1 \neq r_2$), скорости спутников также не могут быть равны ($v_1 > v_2$).
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение Г является неверным.