Номер 40, страница 48, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 40, страница 48.

Условие.

40. К перрону вокзала подходит поезд, замедляя ход. Первый вагон прошёл мимо стоящего на платформе человека за 1 с, а второй — за 1,1 с. Чему равен модуль ускорения поезда, если длина каждого вагона равна 24 м?

Решение.

Дано:

$t_{1} = 1 \text{ с}$

$t_{2} = 1,1 \text{ с}$

$L = 24 \text{ м}$

Найти:

$|a| - ?$

Решение:

Движение поезда является равнозамедленным. Запишем уравнения движения для первого и второго вагонов, когда они проходят мимо наблюдателя.

Пусть $v_{0}$ — скорость поезда в момент, когда голова первого вагона поравнялась с человеком, а $\text{a}$ — ускорение поезда (его проекция на ось движения будет отрицательной, так как поезд замедляется).

Длину первого вагона $\text{L}$ поезд проходит за время $t_{1}$. Путь, пройденный поездом за это время, можно описать уравнением:

$L = v_{0}t_{1} + \frac{at_{1}^2}{2}$ (1)

К моменту, когда мимо человека начинает проходить второй вагон, скорость поезда будет равна:

$v_{1} = v_{0} + at_{1}$

Второй вагон длиной $\text{L}$ проходит мимо человека за время $t_{2}$. Движение на этом участке начинается со скоростью $v_{1}$:

$L = v_{1}t_{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$

Подставим выражение для $v_{1}$ в это уравнение:

$L = (v_{0} + at_{1})t_{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$

$L = v_{0}t_{2} + at_{1}t_{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $v_{0}$ и $\text{a}$. Выразим $v_{0}$ из уравнения (1):

$v_{0}t_{1} = L - \frac{at_{1}^2}{2}$

$v_{0} = \frac{L}{t_{1}} - \frac{at_{1}}{2}$

Подставим это выражение для $v_{0}$ в уравнение (2):

$L = (\frac{L}{t_{1}} - \frac{at_{1}}{2})t_{2} + at_{1}t_{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить ускорение $\text{a}$:

$L = \frac{Lt_{2}}{t_{1}} - \frac{at_{1}t_{2}}{2} + at_{1}t_{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$

$L - \frac{Lt_{2}}{t_{1}} = \frac{at_{1}t_{2}}{2} + \frac{at_{2}^2}{2}$

$L(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}) = \frac{a}{2}(t_{1}t_{2} + t_{2}^2)$

$L\frac{t_{1}-t_{2}}{t_{1}} = \frac{a}{2}t_{2}(t_{1} + t_{2})$

Отсюда находим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{2L(t_{1}-t_{2})}{t_{1}t_{2}(t_{1}+t_{2})}$

Поскольку по условию задачи требуется найти модуль ускорения, а $t_{1} < t_{2}$, то выражение $t_{1}-t_{2}$ отрицательно, что соответствует замедлению. Модуль ускорения будет:

$|a| = \frac{2L(t_{2}-t_{1})}{t_{1}t_{2}(t_{1}+t_{2})}$

Подставим числовые значения:

$|a| = \frac{2 \cdot 24 \text{ м} \cdot (1,1 \text{ с} - 1 \text{ с})}{1 \text{ с} \cdot 1,1 \text{ с} \cdot (1 \text{ с} + 1,1 \text{ с})} = \frac{48 \cdot 0,1}{1,1 \cdot 2,1} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{4,8}{2,31} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2,08 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: модуль ускорения поезда равен примерно $2,08 \text{ м/с}^2$.