Номер 33, страница 48, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 33, страница 48.

Условие.

33. Докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, проходимые за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы:

$l_1 : l_2 : l_3 \dots = 1 : 3 : 5 \dots$

Решение.

Дано:

Движение прямолинейное, равноускоренное

Начальная скорость $v₀ = 0$

Ускорение $a = \text{const}$

Последовательные равные промежутки времени $Δt$

Найти:

Доказать, что $l₁ : l₂ : l₃ : \ldots = 1 : 3 : 5 : \ldots$, где $l_n$ — путь, проходимый за n-й промежуток времени.

Решение:

Путь, пройденный телом при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, определяется формулой:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

где $S(t)$ — это путь, пройденный за общее время $\text{t}$ от начала движения.

Разобьем все время движения на последовательные равные промежутки $Δt$.

Найдем путь $l₁$, пройденный за первый промежуток времени (от $t_0 = 0$ до $t_1 = Δt$):

$l₁ = S(Δt) - S(0) = \frac{a(Δt)^2}{2} - 0 = 1 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}$

Найдем путь $l₂$, пройденный за второй промежуток времени (от $t_1 = Δt$ до $t_2 = 2Δt$):

$l₂ = S(2Δt) - S(Δt) = \frac{a(2Δt)^2}{2} - \frac{a(Δt)^2}{2} = \frac{4a(Δt)^2}{2} - \frac{a(Δt)^2}{2} = 3 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}$

Найдем путь $l₃$, пройденный за третий промежуток времени (от $t_2 = 2Δt$ до $t_3 = 3Δt$):

$l₃ = S(3Δt) - S(2Δt) = \frac{a(3Δt)^2}{2} - \frac{a(2Δt)^2}{2} = \frac{9a(Δt)^2}{2} - \frac{4a(Δt)^2}{2} = 5 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}$

Для n-го промежутка времени (от $t_{n-1} = (n-1)Δt$ до $t_n = nΔt$) путь $l_n$ будет равен:

$l_n = S(nΔt) - S((n-1)Δt) = \frac{a(nΔt)^2}{2} - \frac{a((n-1)Δt)^2}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$l_n = \frac{a(Δt)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a(Δt)^2}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a(Δt)^2}{2} (2n - 1)$

Теперь составим отношение путей, пройденных за последовательные равные промежутки времени:

$l₁ : l₂ : l₃ : \ldots : l_n : \ldots = (1 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}) : (3 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}) : (5 \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}) : \ldots : ((2n-1) \cdot \frac{a(Δt)^2}{2}) : \ldots$

Сократив все члены отношения на общий множитель $\frac{a(Δt)^2}{2}$, получим:

$l₁ : l₂ : l₃ : \ldots = 1 : 3 : 5 : \ldots$

Это и есть последовательность нечетных чисел, начиная с единицы. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, проходимые за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы: $l₁ : l₂ : l₃ : \ldots = 1 : 3 : 5 : \ldots$.