Номер 30, страница 47, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 30, страница 47.

Условие.

30. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается формулой $l = 3t + 0.5t^2$ (значения всех величин заданы в СИ). Какой формулой выражается зависимость скорости от времени?

Решение.

Дано:

Зависимость пройденного телом пути от времени задана формулой $l = 3t + 0,5t^2$.

Все величины заданы в системе СИ.

Найти:

Формулу зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение:

Мгновенная скорость тела является первой производной от пройденного пути по времени. Математически это записывается как:

$v(t) = \frac{dl(t)}{dt}$

Для того чтобы найти зависимость скорости от времени, необходимо найти производную от функции пути $l(t) = 3t + 0,5t^2$ по времени $\text{t}$.

$v(t) = \frac{d}{dt}(3t + 0,5t^2)$

Используя правила дифференцирования, а именно производную суммы и производную степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$, получаем:

$v(t) = \frac{d}{dt}(3t) + \frac{d}{dt}(0,5t^2)$

$v(t) = 3 \cdot 1 \cdot t^{1-1} + 0,5 \cdot 2 \cdot t^{2-1}$

$v(t) = 3 \cdot t^0 + 1 \cdot t^1$

Поскольку любая величина в нулевой степени равна единице ($t^0 = 1$), выражение упрощается до:

$v(t) = 3 + t$

Также можно решить задачу, сравнив данное уравнение с общим уравнением пути для равноускоренного прямолинейного движения:

$l(t) = v_0t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость, а $\text{a}$ — ускорение.

Сравнивая его с заданным уравнением $l(t) = 3t + 0,5t^2$, можно сделать вывод, что:

Начальная скорость $v_0 = 3$ м/с.

Ускорение можно найти из второго слагаемого: $\frac{a}{2} = 0,5$ м/с², следовательно $a = 1$ м/с².

Общая формула зависимости скорости от времени при равноускоренном движении имеет вид:

$v(t) = v_0 + at$

Подставим найденные значения $v_0$ и $\text{a}$ в эту формулу:

$v(t) = 3 + 1 \cdot t$

$v(t) = 3 + t$

Ответ: $v = 3 + t$.