Номер 1, страница 50, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 1, страница 50.

Условие.

1. Докажите, что при движении тела по окружности скорость тела $\vec{v}$ в каждой точке направлена перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку.

Решение.

Дано:

Тело движется по окружности.

Найти:

Доказать, что вектор скорости $\vec{v}$ в каждой точке траектории перпендикулярен радиусу, проведенному в эту точку.

Решение:

Доказательство можно провести двумя способами: геометрическим и аналитическим (с использованием векторного анализа).

1. Геометрическое доказательство.

По определению, вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ в некоторой точке траектории направлен так же, как и вектор малого перемещения $\Delta\vec{r}$, совершенного за малый промежуток времени $\Delta t$. Мгновенная скорость является пределом средней скорости при $\Delta t \to 0$:

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

Рассмотрим две близкие точки $\text{A}$ и $\text{B}$ на окружности, соответствующие моментам времени $\text{t}$ и $t + \Delta t$. Вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ — это вектор, соединяющий точки $\text{A}$ и $\text{B}$, то есть хорда $AB$.

Когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю ($\Delta t \to 0$), точка $\text{B}$ стремится к точке $\text{A}$. В пределе направление хорды $AB$ совпадает с направлением касательной к окружности в точке $\text{A}$.

Следовательно, вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ в любой точке $\text{A}$ окружности направлен по касательной к окружности в этой точке.

Из курса геометрии известно, что радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Таким образом, вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен радиусу, проведенному в данную точку траектории.

2. Аналитическое доказательство.

Пусть $\vec{r}(t)$ — это радиус-вектор, проведенный из центра окружности $\text{O}$ к точке, в которой находится тело в момент времени $\text{t}$. При движении по окружности радиуса $\text{R}$ длина этого вектора остается постоянной: $|\vec{r}(t)| = R = \text{const}$.

Квадрат модуля вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя:

$|\vec{r}(t)|^2 = \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(t) = R^2 = \text{const}$

Продифференцируем обе части этого равенства по времени $\text{t}$. Производная константы ($R^2$) равна нулю. Для левой части используем правило дифференцирования произведения:

$\frac{d}{dt}(\vec{r} \cdot \vec{r}) = \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \vec{r} + \vec{r} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = 0$

Поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), мы можем записать:

$2 \left( \vec{r} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \right) = 0$

По определению, вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ — это производная радиус-вектора по времени:

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

$2 (\vec{r} \cdot \vec{v}) = 0$, или $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны. Следовательно, вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{r}$ в любой момент времени.

Оба способа доказывают утверждение.

Ответ:

Доказано, что при движении тела по окружности вектор скорости $\vec{v}$ в каждой точке направлен по касательной к окружности. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то скорость тела перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Математически это выражается условием ортогональности векторов: скалярное произведение радиус-вектора и вектора скорости равно нулю ($\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$).