Номер 31, страница 188, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 22. Механические волны. Звук - номер 31, страница 188.

Условие.

31. Приближающийся к мосту быстроходный катер издал два коротких гудка с интервалом $2 \text{ с}$. С каким интервалом услышал эти гудки человек на мосту, если скорость катера равна $72 \text{ км/ч}$?

Решение.

Дано:

Интервал времени между гудками, издаваемыми катером: $ \tau_0 = 2 $ с

Скорость катера: $ v_к = 72 $ км/ч

Скорость звука в воздухе (принимаем стандартное значение): $ v_з = 340 $ м/с

Перевод в систему СИ:

Скорость катера: $ v_к = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 $ м/с.

Найти:

Интервал времени между гудками, который услышит человек на мосту: $ \tau $.

Решение:

Это явление объясняется эффектом Доплера. Поскольку источник звука (катер) движется в сторону неподвижного наблюдателя (человека на мосту), каждый последующий звуковой сигнал (в данном случае — гудок) испускается с более близкого расстояния. Из-за этого звуку от второго гудка требуется меньше времени, чтобы достичь наблюдателя, чем звуку от первого, и интервал времени между принимаемыми сигналами сокращается.

Пусть в начальный момент времени $ t=0 $ катер находится на расстоянии $ L $ от моста и издает первый гудок. Звук достигнет человека на мосту за время $ t_1 $, равное:

$ t_1 = \frac{L}{v_з} $

Второй гудок катер издает через интервал времени $ \tau_0 $. За это время он приблизится к мосту на расстояние $ S = v_к \cdot \tau_0 $. Таким образом, второй гудок будет издан в момент времени $ \tau_0 $ с расстояния $ L' = L - S = L - v_к \tau_0 $.

Время, которое потребуется звуку от второго гудка, чтобы достичь моста, равно $ \Delta t = \frac{L'}{v_з} = \frac{L - v_к \tau_0}{v_з} $.

Человек на мосту услышит второй гудок в момент времени $ t_2 $, который складывается из времени издания гудка и времени распространения звука:

$ t_2 = \tau_0 + \Delta t = \tau_0 + \frac{L - v_к \tau_0}{v_з} $

Искомый интервал времени $ \tau $ — это разница между моментами времени, когда человек услышал второй и первый гудки:

$ \tau = t_2 - t_1 = \left( \tau_0 + \frac{L - v_к \tau_0}{v_з} \right) - \frac{L}{v_з} $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ \tau = \tau_0 + \frac{L}{v_з} - \frac{v_к \tau_0}{v_з} - \frac{L}{v_з} $

$ \tau = \tau_0 - \frac{v_к \tau_0}{v_з} $

Вынесем $ \tau_0 $ за скобки:

$ \tau = \tau_0 \left(1 - \frac{v_к}{v_з}\right) $

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$ \tau = 2 \text{ с} \cdot \left(1 - \frac{20 \text{ м/с}}{340 \text{ м/с}}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{2}{34}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{17}\right) $

$ \tau = 2 \cdot \left(\frac{17 - 1}{17}\right) = 2 \cdot \frac{16}{17} = \frac{32}{17} \approx 1,88235... $ с.

Округлим результат до сотых.

Ответ: интервал, с которым человек на мосту услышал гудки, равен приблизительно $ 1,88 $ с.