Номер 34, страница 188, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 22. Механические волны. Звук - номер 34, страница 188.

Условие.

34. Альпинист измерил, что звук от удара камня, падающего в пропасть без начальной скорости, он слышит через 6 с после начала падения камня. Чему равна глубина пропасти? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Общее время, $t = 6 \, \text{с}$

Начальная скорость камня, $v_0 = 0 \, \text{м/с}$

Найти:

Глубину пропасти, $\text{h}$ - ?

Решение:

Общее время $\text{t}$, которое измерил альпинист, складывается из двух временных интервалов: времени падения камня на дно пропасти ($t_1$) и времени, за которое звук от удара достиг альпиниста ($t_2$).

$t = t_1 + t_2$

Для решения задачи примем стандартные значения физических констант: ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ и скорость звука в воздухе $v_з \approx 340 \, \text{м/с}$.

1. Падение камня является равноускоренным движением без начальной скорости. Глубина пропасти $\text{h}$ связана со временем падения $t_1$ формулой:

$h = v_0 t_1 + \frac{g t_1^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$h = \frac{g t_1^2}{2}$

2. Распространение звука является равномерным движением. Звук проходит расстояние $\text{h}$ со скоростью $v_з$ за время $t_2$:

$h = v_з \cdot t_2$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($h, t_1, t_2$):

$t = t_1 + t_2$

$h = \frac{g t_1^2}{2}$

$h = v_з \cdot t_2$

Из первого уравнения выразим время падения камня: $t_1 = t - t_2$.

Приравняем правые части уравнений для $\text{h}$ и подставим в них выражение для $t_1$:

$v_з \cdot t_2 = \frac{g (t - t_2)^2}{2}$

Подставим известные числовые значения ($t=6$ с, $g=9.8$ м/с², $v_з=340$ м/с):

$340 \cdot t_2 = \frac{9.8 \cdot (6 - t_2)^2}{2}$

$340 \cdot t_2 = 4.9 \cdot (36 - 12t_2 + t_2^2)$

$340 \cdot t_2 = 176.4 - 58.8t_2 + 4.9t_2^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$4.9t_2^2 - (340 + 58.8)t_2 + 176.4 = 0$

$4.9t_2^2 - 398.8t_2 + 176.4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-398.8)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 176.4 = 159041.44 - 3457.44 = 155584$

Найдем корни уравнения $t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_2 = \frac{398.8 \pm \sqrt{155584}}{2 \cdot 4.9} \approx \frac{398.8 \pm 394.44}{9.8}$

Уравнение имеет два корня:

$t_{2,1} \approx \frac{398.8 + 394.44}{9.8} = \frac{793.24}{9.8} \approx 81 \, \text{с}$

$t_{2,2} \approx \frac{398.8 - 394.44}{9.8} = \frac{4.36}{9.8} \approx 0.445 \, \text{с}$

Первый корень $t_{2,1} \approx 81 \, \text{с}$ не имеет физического смысла, так как время распространения звука $t_2$ не может быть больше общего времени наблюдения $t=6 \, \text{с}$.

Следовательно, физически верное значение времени, за которое звук дошел до альпиниста, $t_2 \approx 0.445 \, \text{с}$.

Теперь, зная время $t_2$, можем найти глубину пропасти $\text{h}$:

$h = v_з \cdot t_2 = 340 \, \text{м/с} \cdot 0.445 \, \text{с} \approx 151.3 \, \text{м}$

Для проверки можно найти $\text{h}$, используя время падения $t_1$:

$t_1 = t - t_2 = 6 - 0.445 = 5.555 \, \text{с}$

$h = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{9.8 \cdot (5.555)^2}{2} \approx \frac{9.8 \cdot 30.858}{2} \approx 151.2 \, \text{м}$

Результаты вычислений совпадают с приемлемой точностью. Округлим ответ до целых.

Ответ: глубина пропасти примерно равна $151 \, \text{м}$.