Номер 4, страница 20, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при равномерном прямолинейном движении по плоскости - номер 4, страница 20.

Условие.

4. Законы движения точечного тела вдоль осей координат X и Y в СИ имеют вид: $x(t) = 1 + 3t$, $y(t) = 20 - 4t$. Постройте график зависимости $y(x)$ на рис. 16. На этом графике отметьте положения тела в моменты времени 0, 2, 3 и 5 с. Синим карандашом изобразите перемещение тела за 3 с от начала движения, зелёным — со второй по пятую секунды движения. Определите модули этих перемещений и их проекции на координатные оси. Какие из полученных значений совпадают? Почему?

Рис. 16

Решение.

Ответ: _______________.

Решение.

Дано:

$x(t) = 1 + 3t$

$y(t) = 20 - 4t$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

1. График зависимости $y(x)$ с отмеченными положениями тела в моменты времени $t=0, 2, 3, 5$ с.

2. Векторы перемещения за промежуток времени от $0$ с до $3$ с ($\Delta\vec{r}_{0-3}$) и от $2$ с до $5$ с ($\Delta\vec{r}_{2-5}$).

3. Модули этих перемещений и их проекции на координатные оси.

4. Сравнить полученные значения и объяснить, почему они совпадают.

Решение:

1. Построение графика зависимости y(x), нанесение точек и векторов перемещения

Для построения графика траектории $y(x)$ необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения. Выразим время $t$ из первого уравнения:

$x = 1 + 3t \implies 3t = x - 1 \implies t = \frac{x-1}{3}$

Теперь подставим полученное выражение для $t$ в уравнение для координаты $y$:

$y = 20 - 4t = 20 - 4 \left(\frac{x-1}{3}\right) = 20 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{64}{3} - \frac{4}{3}x$

Уравнение траектории $y(x) = \frac{64}{3} - \frac{4}{3}x$ является линейной функцией, следовательно, траектория движения тела — прямая линия.

Найдем координаты тела в заданные моменты времени, чтобы отметить их на графике:

• При $t=0$ с: $x(0) = 1 + 3 \cdot 0 = 1$ м; $y(0) = 20 - 4 \cdot 0 = 20$ м. Точка A(1; 20).

• При $t=2$ с: $x(2) = 1 + 3 \cdot 2 = 7$ м; $y(2) = 20 - 4 \cdot 2 = 12$ м. Точка B(7; 12).

• При $t=3$ с: $x(3) = 1 + 3 \cdot 3 = 10$ м; $y(3) = 20 - 4 \cdot 3 = 8$ м. Точка C(10; 8).

• При $t=5$ с: $x(5) = 1 + 3 \cdot 5 = 16$ м; $y(5) = 20 - 4 \cdot 5 = 0$ м. Точка D(16; 0).

Построим график, отметим на нем найденные точки и изобразим векторы перемещений: синим — за первые 3 с (вектор из A в C), зелёным — с второй по пятую секунду (вектор из B в D).

2. Определение модулей перемещений и их проекций на координатные оси

Найдем проекции и модуль вектора перемещения за первые 3 секунды (от $t=0$ с до $t=3$ с).

Проекция на ось X: $\Delta x_{0-3} = x(3) - x(0) = 10 - 1 = 9$ м.

Проекция на ось Y: $\Delta y_{0-3} = y(3) - y(0) = 8 - 20 = -12$ м.

Модуль перемещения по теореме Пифагора: $|\Delta\vec{r}_{0-3}| = \sqrt{(\Delta x_{0-3})^2 + (\Delta y_{0-3})^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ м.

Теперь найдем проекции и модуль вектора перемещения с второй по пятую секунду (от $t=2$ с до $t=5$ с).

Проекция на ось X: $\Delta x_{2-5} = x(5) - x(2) = 16 - 7 = 9$ м.

Проекция на ось Y: $\Delta y_{2-5} = y(5) - y(2) = 0 - 12 = -12$ м.

Модуль перемещения: $|\Delta\vec{r}_{2-5}| = \sqrt{(\Delta x_{2-5})^2 + (\Delta y_{2-5})^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ м.

Ответ:

Для перемещения за первые 3 с: проекции на оси составляют $\Delta x = 9$ м и $\Delta y = -12$ м, модуль перемещения равен $15$ м.

Для перемещения со второй по пятую секунду: проекции на оси составляют $\Delta x = 9$ м и $\Delta y = -12$ м, модуль перемещения равен $15$ м.

3. Сравнение полученных значений и объяснение совпадения

Сравнивая результаты, мы видим полное совпадение как проекций перемещений на координатные оси, так и их модулей. Это означает, что векторы перемещений за эти два разных промежутка времени равны: $\Delta\vec{r}_{0-3} = \Delta\vec{r}_{2-5}$.

Это совпадение объясняется тем, что заданные уравнения $x(t) = 1 + 3t$ и $y(t) = 20 - 4t$ описывают равномерное прямолинейное движение. При таком движении вектор скорости тела $\vec{v}$ постоянен. Его проекции на оси координат можно найти из уравнений движения (сравнивая с общим видом $x = x_0 + v_x t$): $v_x = 3$ м/с и $v_y = -4$ м/с. Скорость $\vec{v}$ не изменяется со временем.

Перемещение при равномерном движении вычисляется по формуле $\Delta\vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t$. В обоих случаях рассматриваются одинаковые по длительности промежутки времени:

$\Delta t_1 = 3 \text{ с} - 0 \text{ с} = 3$ с.

$\Delta t_2 = 5 \text{ с} - 2 \text{ с} = 3$ с.

Поскольку движение происходит с постоянной скоростью, за равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Именно поэтому вычисленные векторы перемещений, их проекции и модули оказались равны.

Ответ: Все полученные значения (проекции и модули перемещений) совпадают. Это происходит потому, что движение тела является равномерным (скорость постоянна), а перемещения рассматриваются за одинаковые по длительности промежутки времени (3 с). При равномерном движении за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.