Номер 3, страница 49, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 11. Скорость и ускорение при равномерном движении по окружности - номер 3, страница 49.

Условие.

3. Точечное тело движется по окружности радиусом $r = 2$ м. Его положение в момент включения часов обозначено на рисунке жирной точкой (рис. 39). Модуль угловой скорости тела равен $0,25\pi$ рад/с. Изобразите на рис. 39 положения тела, его скорости (синим карандашом) и центростремительные ускорения (красным карандашом) через 1, 2, 4 и 8 с после начала движения. Чёрным карандашом изобразите векторы изменения скорости тела от момента начала движения до указанных моментов. Заполните таблицу, рассчитав путь $\text{s}$, пройденный телом к указанным моментам времени.

$\text{t}$, с 1 2 4 8

$\text{s}$, м

Рис. 39

Решение.

Дано:

Радиус окружности, $r = 2$ м

Модуль угловой скорости, $\omega = 0,25\pi$ рад/с

Моменты времени, $t_1 = 1$ с, $t_2 = 2$ с, $t_3 = 4$ с, $t_4 = 8$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Положение тела, векторы его скорости $\vec{v}$, центростремительного ускорения $\vec{a}_c$ и изменения скорости $\Delta\vec{v}$ в указанные моменты времени.

2. Путь $s$, пройденный телом к указанным моментам времени, и заполнить таблицу.

Решение:

При равномерном движении по окружности модуль линейной скорости $v$ и модуль центростремительного ускорения $a_c$ постоянны. Найдем их значения:

Линейная скорость: $v = \omega r = 0,25\pi \text{ рад/с} \cdot 2 \text{ м} = 0,5\pi$ м/с.

Центростремительное ускорение: $a_c = \omega^2 r = (0,25\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 2 \text{ м} = 0,0625\pi^2 \cdot 2 \text{ м/с}^2 = 0,125\pi^2$ м/с².

Угол поворота тела $\phi$ относительно начального положения (на оси ОХ) определяется формулой $\phi(t) = \omega t$. Начальная скорость $\vec{v}(0)$ направлена вертикально вверх (по касательной).

Рассмотрим каждый момент времени подробно.

В момент времени t = 1 с:

Угол поворота: $\phi_1 = \omega t_1 = 0,25\pi \cdot 1 = \pi/4$ рад, что составляет 45°.

Положение тела: точка на окружности в первой четверти, смещенная на 45° против часовой стрелки от оси ОХ.

Вектор скорости $\vec{v}_1$: направлен по касательной к окружности в этой точке. Он составляет угол $45°+90° = 135°$ с положительным направлением оси ОХ.

Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_{c1}$: направлен от тела к центру окружности.

Вектор изменения скорости $\Delta\vec{v}_1 = \vec{v}_1 - \vec{v}_0$. Для его построения нужно отложить векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_0$ из одной точки; $\Delta\vec{v}_1$ будет вектором, соединяющим конец вектора $\vec{v}_0$ с концом вектора $\vec{v}_1$. Он будет направлен "влево и вниз".

В момент времени t = 2 с:

Угол поворота: $\phi_2 = \omega t_2 = 0,25\pi \cdot 2 = \pi/2$ рад, что составляет 90°.

Положение тела: верхняя точка окружности на оси OY.

Вектор скорости $\vec{v}_2$: направлен по касательной, то есть горизонтально влево, параллельно оси ОХ.

Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_{c2}$: направлен к центру, то есть вертикально вниз, вдоль оси OY.

Вектор изменения скорости $\Delta\vec{v}_2 = \vec{v}_2 - \vec{v}_0$. Направлен из конца вектора $\vec{v}_0$ (направленного вверх) в конец вектора $\vec{v}_2$ (направленного влево). Этот вектор направлен под углом 225° к оси ОХ, его модуль равен $|\Delta\vec{v}_2| = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 0,5\pi\sqrt{2}$ м/с.

В момент времени t = 4 с:

Угол поворота: $\phi_3 = \omega t_3 = 0,25\pi \cdot 4 = \pi$ рад, что составляет 180°.

Положение тела: крайняя левая точка окружности на оси ОХ.

Вектор скорости $\vec{v}_3$: направлен по касательной, то есть вертикально вниз.

Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_{c3}$: направлен к центру, то есть горизонтально вправо.

Вектор изменения скорости $\Delta\vec{v}_3 = \vec{v}_3 - \vec{v}_0$. Направлен из конца вектора $\vec{v}_0$ (вверх) в конец вектора $\vec{v}_3$ (вниз). Это вектор, направленный вертикально вниз, его модуль равен $|\Delta\vec{v}_3| = 2v = 2 \cdot 0,5\pi = \pi$ м/с.

В момент времени t = 8 с:

Угол поворота: $\phi_4 = \omega t_4 = 0,25\pi \cdot 8 = 2\pi$ рад, что составляет 360°.

Положение тела: тело совершило полный оборот и вернулось в начальную точку на оси ОХ.

Вектор скорости $\vec{v}_4$: совпадает с начальным вектором скорости $\vec{v}_0$ и направлен вертикально вверх.

Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_{c4}$: совпадает с начальным и направлен к центру, то есть горизонтально влево.

Вектор изменения скорости $\Delta\vec{v}_4 = \vec{v}_4 - \vec{v}_0 = \vec{0}$, так как конечная скорость равна начальной.

Расчет пройденного пути и заполнение таблицы:

Путь, пройденный телом, вычисляется по формуле $s = v \cdot t$.

При $t = 1$ с: $s_1 = 0,5\pi \cdot 1 = 0,5\pi$ м $\approx 1,57$ м.

При $t = 2$ с: $s_2 = 0,5\pi \cdot 2 = \pi$ м $\approx 3,14$ м.

При $t = 4$ с: $s_3 = 0,5\pi \cdot 4 = 2\pi$ м $\approx 6,28$ м.

При $t = 8$ с: $s_4 = 0,5\pi \cdot 8 = 4\pi$ м $\approx 12,57$ м.

Теперь заполним таблицу:

t, c	1	2	4	8
s, м	0,5π	π	2π	4π

Ответ:

В указанные моменты времени положение тела, векторы скорости, центростремительного ускорения и изменения скорости следующие:

• $t=1$ с: тело повернуто на угол $45°$. Вектор скорости направлен по касательной под углом $135°$ к оси OX, вектор ускорения — к центру, вектор изменения скорости — "влево и вниз".
• $t=2$ с: тело находится в верхней точке окружности (угол $90°$). Вектор скорости направлен влево, вектор ускорения — вниз, вектор изменения скорости — под углом $225°$ к оси OX.
• $t=4$ с: тело находится в крайней левой точке (угол $180°$). Вектор скорости направлен вниз, вектор ускорения — вправо, вектор изменения скорости — вертикально вниз.
• $t=8$ с: тело вернулось в исходное положение (угол $360°$). Векторы скорости и ускорения совпадают с начальными. Вектор изменения скорости равен нулю.

Заполненная таблица пройденного пути:

t, c	1	2	4	8
s, м	0,5π	π	2π	4π