Номер 12, страница 71, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 14. Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона. Решение задач о движении взаимодействующих тел - номер 12, страница 71.

Условие.

12. Трактор тянет вверх по наклонной заснеженной дороге гружёные сани массой $m = 1$ т с помощью лёгкого троса. Коэффициент трения саней о дорогу $\mu = 0,3$. Угол наклона дороги к горизонту $\alpha = 30^\circ$. Трос параллелен дороге. Определите модуль $F_{tc}$ силы, действующей на трактор со стороны троса при равномерном движении.

Решение.

Шаг 0. Выбор модели.

Шаг 1. Выбор ИСО.

Тело отсчёта ______________

Ось $\text{X}$ направим по ходу движения саней.

Ось $\text{Y}$ направим вверх, перпендикулярно оси $\text{X}$.

Шаг 2. Изобразим на рисунке силы, действующие на трос и сани, и обозначим их.

Шаг 3. Определим проекции на координатные оси сумм сил, действующих на трос и сани.

Ось X: _______________

Ось Y: _______________

Шаг 4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для троса и саней. При этом учтём, что по условию задачи трос и сани движутся равномерно.

Шаг 4* (новый). По третьему закону Ньютона модули сил взаимодействия равны. Следовательно,

Шаг 5. Запишем индивидуальные свойства сил.

Поскольку сани скользят по поверхности дороги, то _______________

Шаг 6. Запишем уравнения кинематической связи:

вдоль оси $\text{X}$ _______________

вдоль оси $\text{Y}$ _______________

Шаг 7. Сведём полученные уравнения в систему.

Шаг 8. Решение системы уравнений.

Шаг 9. Анализ полученного результата и расчёт численного ответа.

Ответ: _______________

Решение.

Дано:

$m = 1$ т
$\mu = 0.3$
$\alpha = 30^\circ$
$v = \text{const}$ ($a = 0$ м/с²)

Перевод в систему СИ:

$m = 1000$ кг

Найти:

$F_{тс}$ — ?

Решение:

Шаг 0. Выбор модели.Сани рассматриваем как материальную точку, а трос — как невесомый и нерастяжимый.

Шаг 1. Выбор ИСО.Свяжем инерциальную систему отсчета (ИСО) с поверхностью Земли.
Тело отсчёта — Земля (дорога).
Ось X направим по ходу движения саней, то есть вверх по наклонной плоскости.
Ось Y направим вверх, перпендикулярно оси X (и поверхности дороги).

Шаг 2. Изобразим на рисунке силы, действующие на трос и сани, и обозначим их.На сани действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно дороге вверх; сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная против движения (вниз по наклонной плоскости); сила натяжения троса $\vec{T}$, направленная по движению (вверх по наклонной плоскости).

Шаг 3. Определим проекции на координатные оси сумм сил, действующих на трос и сани.Рассмотрим проекции сил, действующих на сани.
Ось X: $T - F_{тр} - mg \sin\alpha$
Ось Y: $N - mg \cos\alpha$

Шаг 4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для троса и саней. При этом учтём, что по условию задачи трос и сани движутся равномерно.Поскольку движение равномерное, ускорение $\vec{a} = 0$. Согласно второму закону Ньютона, $\sum \vec{F} = m\vec{a} = 0$.
В проекции на ось X: $T - F_{тр} - mg \sin\alpha = 0$
В проекции на ось Y: $N - mg \cos\alpha = 0$

Шаг 4* (новый). По третьему закону Ньютона модули сил взаимодействия равны. Следовательно,сила, с которой трос действует на трактор ($F_{тс}$), равна по модулю силе, с которой трактор действует на трос ($F_{тт}$). Так как трос невесом и движется без ускорения, сила $F_{тт}$ равна по модулю силе натяжения $T$, с которой трос действует на сани. Таким образом, искомая сила равна силе натяжения троса: $F_{тс} = T$.

Шаг 5. Запишем индивидуальные свойства сил.Поскольку сани скользят по поверхности дороги, то сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения, а $N$ — модуль силы нормальной реакции опоры.

Шаг 6. Запишем уравнения кинематической связи:Так как движение равномерное и прямолинейное, проекции ускорения на обе оси равны нулю.
вдоль оси X $a_x = 0$.
вдоль оси Y $a_y = 0$.

Шаг 7. Сведём полученные уравнения в систему.Объединим уравнения из шагов 4 и 5:
$ \begin{cases} T - \mu N - mg \sin\alpha = 0 \\ N - mg \cos\alpha = 0 \end{cases} $

Шаг 8. Решение системы уравнений.Из второго уравнения системы находим силу реакции опоры:
$N = mg \cos\alpha$
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$T - \mu (mg \cos\alpha) - mg \sin\alpha = 0$
Выражаем силу натяжения троса $T$:
$T = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Шаг 9. Анализ полученного результата и расчёт численного ответа.Искомая сила $F_{тс}$ равна силе натяжения $T$. Подставим числовые значения в полученную формулу (примем $g \approx 9.8$ м/с²):
$F_{тс} = 1000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (\sin(30^\circ) + 0.3 \cdot \cos(30^\circ))$
$F_{тс} = 9800 \cdot (0.5 + 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9800 \cdot (0.5 + 0.3 \cdot 0.866)$
$F_{тс} \approx 9800 \cdot (0.5 + 0.2598) = 9800 \cdot 0.7598 \approx 7446.04 \text{ Н}$
Округлим результат до двух значащих цифр: $F_{тс} \approx 7.4 \cdot 10^3 \text{ Н} = 7.4 \text{ кН}$.
Ответ: $F_{тс} \approx 7.4$ кН.