Номер 5, страница 77, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Решение задач о движении связанных тел - номер 5, страница 77.

Условие.

5*. В системе, изображённой на рис. 52, отрезки лёгкой нерастяжимой нити, не лежащие на блоках, вертикальны. Левый блок, как и верхний конец нити, прикреплён к потолку комнаты. Первоначально груз массой $m_1$ удерживали в неподвижном положении. Определите ускорение груза массой $m_2$ после отпускания первого груза. Считайте, что грузы движутся поступательно, блоки лёгкие, а трения нет.

Рис. 52

Решение.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$
Масса второго груза: $m_2$
Ускорение свободного падения: $g$
Блоки и нить невесомые, трения нет.

Найти:

Ускорение груза массой $m_2$: $\vec{a_2}$

Решение:

Введем ось OY, направленную вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на эту ось. Пусть $T$ — сила натяжения нити, перекинутой через блоки.

На груз массой $m_1$ действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Уравнение движения для этого груза:
$m_1g - T = m_1a_1$ (1)
где $a_1$ — проекция ускорения груза $m_1$ на ось OY.

Груз массой $m_2$ подвешен к подвижному блоку. Поскольку блок невесом, сила натяжения нити, к которой подвешен груз $m_2$, равна сумме сил натяжения двух ветвей основной нити, то есть $2T$. Эта сила направлена вверх. На груз $m_2$ действует сила тяжести $m_2g$ (вниз). Уравнение движения для груза $m_2$:
$m_2g - 2T = m_2a_2$ (2)
где $a_2$ — проекция ускорения груза $m_2$ на ось OY.

Нить нерастяжима, поэтому существует кинематическая связь между перемещениями и, следовательно, ускорениями грузов. Если груз $m_2$ опустится на величину $y_2$, то каждая из двух ветвей нити, удерживающих его, укоротится на $y_2$. Освободившаяся длина нити $2y_2$ приведет к опусканию груза $m_1$ на величину $y_1=2y_2$. Таким образом, модуль ускорения первого груза в два раза больше модуля ускорения второго. Поскольку грузы движутся в противоположных направлениях, связь между проекциями их ускорений будет:
$a_1 = -2a_2$ (3)

Решим полученную систему уравнений (1), (2) и (3).
Подставим (3) в (1):
$m_1g - T = m_1(-2a_2)$
Выразим отсюда натяжение нити $T$:
$T = m_1g + 2m_1a_2$
Теперь подставим это выражение для $T$ в уравнение (2):
$m_2g - 2(m_1g + 2m_1a_2) = m_2a_2$
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$m_2g - 2m_1g - 4m_1a_2 = m_2a_2$
$g(m_2 - 2m_1) = a_2(m_2 + 4m_1)$
Отсюда находим проекцию ускорения груза $m_2$ на ось OY:
$a_2 = g \frac{m_2 - 2m_1}{4m_1 + m_2}$

Полученное выражение является проекцией ускорения на вертикальную ось, направленную вниз. Знак результата определяет направление вектора ускорения:
- Если $m_2 > 2m_1$, то $a_2 > 0$, и ускорение груза $m_2$ направлено вниз.
- Если $m_2 < 2m_1$, то $a_2 < 0$, и ускорение груза $m_2$ направлено вверх.
- Если $m_2 = 2m_1$, то $a_2 = 0$, и система находится в равновесии.
Модуль ускорения груза $m_2$ равен $|a_2| = g \frac{|m_2 - 2m_1|}{4m_1 + m_2}$.
Ответ: Ускорение груза массой $m_2$ по модулю равно $a_2 = g \frac{|m_2 - 2m_1|}{4m_1 + m_2}$. Если $m_2 > 2m_1$, ускорение направлено вертикально вниз. Если $m_2 < 2m_1$, ускорение направлено вертикально вверх. Если $m_2 = 2m_1$, ускорение равно нулю.