Номер 5, страница 92, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники - номер 5, страница 92.

Условие.

5. Земля совершает полный оборот по своей орбите вокруг Солнца за время $T \approx 365$ сут. Считая радиус орбиты Земли равным $R_3 \approx 1,5 \cdot 10^8$ км, оцените массу Солнца.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Период обращения Земли вокруг Солнца, $T \approx 365$ сут

Радиус орбиты Земли, $R_З \approx 1,5 \cdot 10^8$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:
$T = 365 \text{ сут} = 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 31536000 \text{ с} \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ с}$
$R_З = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,5 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Массу Солнца, $M_С$

Решение:

Для решения задачи предположим, что Земля движется по круговой орбите вокруг Солнца. Движение Земли по орбите обеспечивается силой всемирного тяготения со стороны Солнца, которая выполняет роль центростремительной силы.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

$F = m_З \cdot a_ц$

Сила гравитационного притяжения Земли к Солнцу определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_С \cdot m_З}{R_З^2}$

где $M_С$ – масса Солнца, $m_З$ – масса Земли.

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с орбитальной скоростью $v$ и радиусом орбиты $R_З$ соотношением:

$a_ц = \frac{v^2}{R_З}$

Приравнивая силу тяготения и центростремительную силу, получаем:

$G \frac{M_С \cdot m_З}{R_З^2} = m_З \frac{v^2}{R_З}$

Сократим массу Земли $m_З$ и радиус $R_З$ в уравнении:

$G \frac{M_С}{R_З} = v^2$

Орбитальная скорость $v$ может быть выражена через период обращения $T$. За время $T$ Земля проходит путь, равный длине окружности орбиты $L = 2\pi R_З$. Следовательно:

$v = \frac{2\pi R_З}{T}$

Подставим выражение для скорости в предыдущее уравнение:

$G \frac{M_С}{R_З} = (\frac{2\pi R_З}{T})^2 = \frac{4\pi^2 R_З^2}{T^2}$

Выразим массу Солнца $M_С$ из этого уравнения:

$M_С = \frac{4\pi^2 R_З^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M_С = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (3,15 \cdot 10^7)^2} = \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,9225 \cdot 10^{14}}$

$M_С = \frac{133,11 \cdot 10^{33}}{66,18 \cdot 10^3} \approx 2,01 \cdot 10^{30}$ кг.

Ответ: Масса Солнца составляет приблизительно $2 \cdot 10^{30}$ кг.