Номер 9, страница 89, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения - номер 9, страница 89.

Условие.

9*. На экваторе некоторой планеты, лишённой атмосферы, вес тела в 2 раза меньше, чем на полюсе. Считая планету однородным шаром с плотностью вещества $\rho = 3 \text{ т/м}^3$, оцените длительность суток на этой планете. (Объём шара вычисляют по формуле $V = \frac{4\pi R^3}{3}$.)

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Вес тела на экваторе в 2 раза меньше, чем на полюсе: $P_{пол} = 2 P_{экв}$.
Плотность планеты: $\rho = 3$ т/м$^3$.

Перевод в систему СИ:
$\rho = 3 \text{ т/м}^3 = 3 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 3000 \text{ кг/м}^3$.

Найти:

Длительность суток на планете $T$.

Решение:

Вес тела на полюсе $P_{пол}$ определяется только силой гравитационного притяжения, так как на полюсе тело не испытывает действия центробежной силы из-за вращения планеты.

$P_{пол} = F_g = mg$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения на поверхности планеты.

На экваторе вес тела $P_{экв}$ уменьшается за счет центробежной силы инерции, направленной против силы тяжести. Согласно второму закону Ньютона, сила тяжести сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_g - P_{экв} = m a_ц$

Отсюда вес на экваторе:

$P_{экв} = F_g - m a_ц = mg - m\omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость вращения планеты, а $R$ — её радиус.

По условию задачи $P_{пол} = 2 P_{экв}$. Подставим выражения для веса:

$mg = 2(mg - m\omega^2 R)$

Сократив на массу тела $m$, получим:

$g = 2(g - \omega^2 R)$
$g = 2g - 2\omega^2 R$
$g = 2\omega^2 R$

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности шарообразной планеты можно выразить через её массу $M$ и радиус $R$:

$g = \frac{GM}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная. Массу планеты $M$ выразим через её плотность $\rho$ и объём $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда ускорение свободного падения:

$g = \frac{G \cdot \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$

Подставим это выражение для $g$ в соотношение $g = 2\omega^2 R$:

$\frac{4}{3}\pi G \rho R = 2\omega^2 R$

Сократим на $2R$ (считая $R \ne 0$):

$\frac{2}{3}\pi G \rho = \omega^2$

Длительность суток $T$ (период вращения) связана с угловой скоростью $\omega$ формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Выразим $T$:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{2}{3}\pi G \rho}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{2\pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 \cdot 3}{2\pi G \rho}} = \sqrt{\frac{6\pi}{G \rho}}$

Теперь подставим числовые значения. Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11}$ Н·м$^2$/кг$^2$.

$T = \sqrt{\frac{6 \cdot 3.14}{6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Н \cdot м}^2/\text{кг}^2 \cdot 3000 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt{\frac{18.84}{2.001 \times 10^{-7} \text{ с}^{-2}}} \approx \sqrt{9.415 \times 10^7 \text{ с}^2} \approx 9703 \text{ с}$

Переведем полученное значение в часы и минуты:

$9703 \text{ с} = \frac{9703}{3600} \text{ ч} \approx 2.695 \text{ ч} \approx 2 \text{ часа } + 0.695 \cdot 60 \text{ мин} \approx 2 \text{ часа } 42 \text{ минуты}$

Ответ: длительность суток на этой планете составляет примерно 2 часа 42 минуты.