Номер 8, страница 89, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения - номер 8, страница 89.

Условие.

8*. Определите модуль силы гравитационного притяжения маленького шарика массой $\text{m}$ и тонкого однородного кольца массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$. Считайте, что шарик находится на оси кольца на расстоянии $\text{h}$ от его плоскости (рис. 57).

Решение.

Рис. 57

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса шарика: $m$

Масса тонкого однородного кольца: $M$

Радиус кольца: $R$

Расстояние от центра кольца до шарика вдоль оси: $h$

Гравитационная постоянная: $G$

Найти:

Модуль силы гравитационного притяжения $F$

Решение:

Так как кольцо не является точечным телом, его нельзя рассматривать как материальную точку, и необходимо применить метод интегрирования. Разобьем кольцо на бесконечно малые элементы, каждый массой $dM$. Каждый такой элемент можно считать материальной точкой.

Расстояние $r$ от любого элемента кольца $dM$ до шарика массой $m$ одинаково для всех элементов. По теореме Пифагора оно равно:

$r = \sqrt{R^2 + h^2}$

Согласно закону всемирного тяготения, модуль силы притяжения $dF$ между элементом кольца $dM$ и шариком $m$ равен:

$dF = G \frac{m \cdot dM}{r^2} = G \frac{m \cdot dM}{R^2 + h^2}$

Эта сила направлена вдоль прямой, соединяющей элемент $dM$ и шарик $m$. Вектор силы $d\vec{F}$ можно разложить на две составляющие: одну, параллельную оси кольца ($dF_{ось}$), и другую, перпендикулярную оси ($dF_{\perp}$).

В силу симметрии кольца, для каждого элемента $dM$ существует диаметрально противоположный ему элемент, создающий такую же по модулю силу притяжения. При сложении векторов сил от этих двух элементов их перпендикулярные составляющие $dF_{\perp}$ будут направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожатся. Таким образом, при суммировании сил от всех элементов кольца, результирующая сила будет направлена строго вдоль оси кольца к его центру. Ее модуль будет равен сумме (интегралу) осевых составляющих $dF_{ось}$ от всех элементов кольца.

Найдем осевую составляющую силы $dF_{ось}$. Пусть $\alpha$ — это угол между вектором силы $d\vec{F}$ и осью кольца. Тогда:

$dF_{ось} = dF \cdot \cos\alpha$

Из геометрии рисунка видно, что косинус этого угла равен:

$\cos\alpha = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}$

Подставим выражения для $dF$ и $\cos\alpha$:

$dF_{ось} = \left( G \frac{m \cdot dM}{R^2 + h^2} \right) \cdot \left( \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right) = G \frac{m h \cdot dM}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$

Чтобы найти полную силу $F$, нужно проинтегрировать это выражение по всей массе кольца:

$F = \int_{M} dF_{ось} = \int_{M} G \frac{m h}{(R^2 + h^2)^{3/2}} dM$

Множитель $G \frac{m h}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$ является постоянной величиной для всех элементов кольца, поэтому его можно вынести за знак интеграла:

$F = G \frac{m h}{(R^2 + h^2)^{3/2}} \int_{M} dM$

Интеграл от $dM$ по всему кольцу равен полной массе кольца $M$:

$\int_{M} dM = M$

В итоге получаем выражение для модуля силы гравитационного притяжения:

$F = G \frac{M m h}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$

Ответ: $F = G \frac{M m h}{(R^2 + h^2)^{3/2}}$