Номер 3, страница 87, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения - номер 3, страница 87.

Условие.

3. Один из возможных способов определения гравитационной постоянной состоит в следующем. Внутри закреплённого большого свинцового шара массой $\text{M}$ делают тонкий вертикальный канал, проходящий через центр шара. Затем на расстоянии $\text{R}$ от центра этого шара на оси канала вначале над шаром, а затем под ним подвешивают на нити шарик массой $\text{m}$. Получите формулу для вычисления гравитационной постоянной, зная разность $\Delta F$ показаний динамометра, к которому прикреплён верхний конец нити.

Решение.

Оцените, во сколько раз сила тяжести, действующая на маленький шарик, превышает величину $\Delta F$.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса большого свинцового шара: $M$
Масса маленького шарика: $m$
Расстояние от центра большого шара до центра маленького шарика: $R$
Разность показаний динамометра: $ΔF$

Найти:

Формулу для вычисления гравитационной постоянной $G$.

Решение:

Рассмотрим два случая расположения маленького шарика. Динамометр измеряет силу натяжения нити $T$. Так как шарик находится в равновесии, сила натяжения нити уравновешивает все остальные силы, действующие на него по вертикали.

1. Маленький шарик находится над большим шаром на расстоянии $R$ от его центра.
На шарик действуют три силы, направленные вертикально:
- Сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз.
- Гравитационная сила притяжения со стороны большого шара $F_M = G \frac{M m}{R^2}$, также направленная вниз (к центру большого шара).
- Сила натяжения нити $T_1$, направленная вверх.

Показания динамометра в этом случае равны силе натяжения $F_1 = T_1$. Из условия равновесия:
$T_1 = mg + F_M$
$F_1 = mg + G \frac{M m}{R^2}$

2. Маленький шарик находится под большим шаром (внутри канала) на расстоянии $R$ от его центра.
На шарик действуют три силы:
- Сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз.
- Гравитационная сила притяжения со стороны большого шара $F_M = G \frac{M m}{R^2}$, теперь направленная вверх (к центру большого шара).
- Сила натяжения нити $T_2$, направленная вверх.

Показания динамометра в этом случае равны $F_2 = T_2$. Из условия равновесия:
$T_2 + F_M = mg$
$T_2 = mg - F_M$
$F_2 = mg - G \frac{M m}{R^2}$

Разность показаний динамометра $ΔF$ по условию равна:
$ΔF = F_1 - F_2 = \left( mg + G \frac{M m}{R^2} \right) - \left( mg - G \frac{M m}{R^2} \right)$
$ΔF = mg + G \frac{M m}{R^2} - mg + G \frac{M m}{R^2}$
$ΔF = 2 G \frac{M m}{R^2}$

Выразим из этой формулы гравитационную постоянную $G$:
$G = \frac{ΔF \cdot R^2}{2 M m}$

Ответ: $G = \frac{ΔF \cdot R^2}{2 M m}$

---

Оцените, во сколько раз сила тяжести, действующая на маленький шарик, превышает величину ΔF.

Дано:

Для оценки выберем реалистичные параметры для лабораторной установки:
- Ускорение свободного падения: $g ≈ 9.8 \text{ м/с²}$
- Гравитационная постоянная: $G ≈ 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м²}/\text{кг²}$
- Плотность свинца: $ρ ≈ 11340 \text{ кг/м³}$
- Радиус большого свинцового шара: $r_{шара} = 20 \text{ см}$
- Расстояние от центра большого шара до маленького: $R = 25 \text{ см}$ (немного больше радиуса)

Перевод в систему СИ:
$r_{шара} = 0.2 \text{ м}$
$R = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Отношение $\frac{F_{тяж}}{ΔF}$.

Решение:

Нам нужно найти отношение $\frac{F_{тяж}}{ΔF}$, где $F_{тяж} = mg$. Из первой части задачи мы знаем, что $ΔF = 2 G \frac{M m}{R^2}$.

Подставим выражение для $ΔF$ в искомое отношение:
$\frac{F_{тяж}}{ΔF} = \frac{mg}{2 G \frac{M m}{R^2}}$

Масса маленького шарика $m$ сокращается:
$\frac{F_{тяж}}{ΔF} = \frac{g R^2}{2 G M}$

Теперь вычислим массу большого свинцового шара $M$.
$M = ρ \cdot V = ρ \cdot \frac{4}{3} \pi r_{шара}^3$
$M ≈ 11340 \cdot \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (0.2)^3 ≈ 11340 \cdot 4.187 \cdot 0.008 ≈ 380 \text{ кг}$

Подставим все значения в формулу для отношения:
$\frac{F_{тяж}}{ΔF} ≈ \frac{9.8 \cdot (0.25)^2}{2 \cdot 6.67 \times 10^{-11} \cdot 380} = \frac{9.8 \cdot 0.0625}{50692 \times 10^{-11}} = \frac{0.6125}{5.07 \times 10^{-7}}$
$\frac{F_{тяж}}{ΔF} ≈ 0.12 \times 10^7 = 1.2 \times 10^6$

Таким образом, сила тяжести, действующая на маленький шарик, примерно в 1.2 миллиона раз превышает разность показаний динамометра. Это показывает, насколько слабой является гравитационная сила между телами лабораторных размеров по сравнению с силой притяжения к Земле, и почему измерение $ΔF$ требует очень высокой точности.

Ответ: Сила тяжести превышает величину $ΔF$ примерно в $1.2 \times 10^6$ раз.